Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62851 / 76926
↖ ↑ ↗
← S 29.835879°
W  7.374573°		 ← 264.94 m → S 29.835879°
W  7.371826°		 →
↑
264.97 m
↓
↑
264.97 m
↓
S 29.838262°
W  7.374573°		 ← 264.94 m →
70 201 m²		 S 29.838262°
W  7.371826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479518890380859 y=0.586902618408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479518890380859 × 217)
    floor (0.479518890380859 × 131072)
    floor (62851.5)     		tx = 62851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586902618408203 × 217)
    floor (0.586902618408203 × 131072)
    floor (76926.5)     		ty = 76926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62851 / 76926 ti = "17/62851/76926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62851/76926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62851 ÷ 217
    62851 ÷ 131072     		x = 0.479515075683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76926 ÷ 217
    76926 ÷ 131072     		y = 0.586898803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479515075683594 × 2 - 1) × π
    -0.0409698486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12871058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586898803710938 × 2 - 1) × π
    -0.173797607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.54600128667244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12871058} λ = -0.12871058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54600128667244))-π/2
    2×atan(0.579261486060513)-π/2
    2×0.525031001987751-π/2
    1.0500620039755-1.57079632675     		φ = -0.52073432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12871058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.374573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52073432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.835879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62851 KachelY 76926 -0.12871058 -0.52073432 -7.374573 -29.835879
    Oben rechts KachelX + 1 62852 KachelY 76926 -0.12866264 -0.52073432 -7.371826 -29.835879
    Unten links KachelX 62851 KachelY + 1 76927 -0.12871058 -0.52077591 -7.374573 -29.838262
    Unten rechts KachelX + 1 62852 KachelY + 1 76927 -0.12866264 -0.52077591 -7.371826 -29.838262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52073432--0.52077591) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dl = 264.969890000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52073432--0.52077591) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dr = 264.969890000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12871058--0.12866264) × cos(-0.52073432) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.867454076712357 × 6371000     		do = 264.942803295868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12871058--0.12866264) × cos(-0.52077591) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.867433384219257 × 6371000     		du = 264.93648327585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52073432)-sin(-0.52077591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867454076712357-0.867433384219257)×R²
    abs(-0.12866264--0.12871058)×2.06924931006602e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.06924931006602e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.06924931006602e-05×40589641000000     		ar = 70201.0281482127m²