Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62851 / 38783
↖ ↑ ↗
← N 58.996726°
W  7.374573°		 ← 157.32 m → N 58.996726°
W  7.371826°		 →
↑
157.36 m
↓
↑
157.36 m
↓
N 58.995311°
W  7.374573°		 ← 157.33 m →
24 757 m²		 N 58.995311°
W  7.371826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479518890380859 y=0.295894622802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479518890380859 × 217)
    floor (0.479518890380859 × 131072)
    floor (62851.5)     		tx = 62851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295894622802734 × 217)
    floor (0.295894622802734 × 131072)
    floor (38783.5)     		ty = 38783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62851 / 38783 ti = "17/62851/38783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62851/38783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62851 ÷ 217
    62851 ÷ 131072     		x = 0.479515075683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38783 ÷ 217
    38783 ÷ 131072     		y = 0.295890808105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479515075683594 × 2 - 1) × π
    -0.0409698486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12871058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295890808105469 × 2 - 1) × π
    0.408218383789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.28245587553536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12871058} λ = -0.12871058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28245587553536))-π/2
    2×atan(3.6054834802162)-π/2
    2×1.30024172121407-π/2
    2.60048344242815-1.57079632675     		φ = 1.02968712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12871058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.374573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02968712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.996726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62851 KachelY 38783 -0.12871058 1.02968712 -7.374573 58.996726
    Oben rechts KachelX + 1 62852 KachelY 38783 -0.12866264 1.02968712 -7.371826 58.996726
    Unten links KachelX 62851 KachelY + 1 38784 -0.12871058 1.02966242 -7.374573 58.995311
    Unten rechts KachelX + 1 62852 KachelY + 1 38784 -0.12866264 1.02966242 -7.371826 58.995311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02968712-1.02966242) × R
    2.46999999999886e-05 × 6371000     		dl = 157.363699999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02968712-1.02966242) × R
    2.46999999999886e-05 × 6371000     		dr = 157.363699999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12871058--0.12866264) × cos(1.02968712) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.515087051474506 × 6371000     		do = 157.320843861007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12871058--0.12866264) × cos(1.02966242) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.515108222622785 × 6371000     		du = 157.327310074637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02968712)-sin(1.02966242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515087051474506-0.515108222622785)×R²
    abs(-0.12866264--0.12871058)×2.11711482795973e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11711482795973e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11711482795973e-05×40589641000000     		ar = 24757.0988518598m²