Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62851 / 29825
↖ ↑ ↗
← N 69.533558°
W  7.374573°		 ← 106.79 m → N 69.533558°
W  7.371826°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
N 69.532597°
W  7.374573°		 ← 106.80 m →
11 410 m²		 N 69.532597°
W  7.371826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479518890380859 y=0.227550506591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479518890380859 × 217)
    floor (0.479518890380859 × 131072)
    floor (62851.5)     		tx = 62851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227550506591797 × 217)
    floor (0.227550506591797 × 131072)
    floor (29825.5)     		ty = 29825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62851 / 29825 ti = "17/62851/29825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62851/29825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62851 ÷ 217
    62851 ÷ 131072     		x = 0.479515075683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29825 ÷ 217
    29825 ÷ 131072     		y = 0.227546691894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479515075683594 × 2 - 1) × π
    -0.0409698486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12871058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227546691894531 × 2 - 1) × π
    0.544906616210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.71187462233183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12871058} λ = -0.12871058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71187462233183))-π/2
    2×atan(5.53933591331801)-π/2
    2×1.39219292102107-π/2
    2.78438584204213-1.57079632675     		φ = 1.21358952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12871058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.374573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21358952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.533558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62851 KachelY 29825 -0.12871058 1.21358952 -7.374573 69.533558
    Oben rechts KachelX + 1 62852 KachelY 29825 -0.12866264 1.21358952 -7.371826 69.533558
    Unten links KachelX 62851 KachelY + 1 29826 -0.12871058 1.21357275 -7.374573 69.532597
    Unten rechts KachelX + 1 62852 KachelY + 1 29826 -0.12866264 1.21357275 -7.371826 69.532597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21358952-1.21357275) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21358952-1.21357275) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12871058--0.12866264) × cos(1.21358952) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.349658721817478 × 6371000     		do = 106.794773858549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12871058--0.12866264) × cos(1.21357275) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.349674433197973 × 6371000     		du = 106.799572518563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21358952)-sin(1.21357275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349658721817478-0.349674433197973)×R²
    abs(-0.12866264--0.12871058)×1.57113804943876e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.57113804943876e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.57113804943876e-05×40589641000000     		ar = 11410.3883351021m²