Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62851 / 28293
↖ ↑ ↗
← N 70.955217°
W  7.374573°		 ← 99.66 m → N 70.955217°
W  7.371826°		 →
↑
99.64 m
↓
↑
99.64 m
↓
N 70.954320°
W  7.374573°		 ← 99.67 m →
9 931 m²		 N 70.954320°
W  7.371826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479518890380859 y=0.215862274169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479518890380859 × 217)
    floor (0.479518890380859 × 131072)
    floor (62851.5)     		tx = 62851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215862274169922 × 217)
    floor (0.215862274169922 × 131072)
    floor (28293.5)     		ty = 28293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62851 / 28293 ti = "17/62851/28293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62851/28293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62851 ÷ 217
    62851 ÷ 131072     		x = 0.479515075683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28293 ÷ 217
    28293 ÷ 131072     		y = 0.215858459472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479515075683594 × 2 - 1) × π
    -0.0409698486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12871058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215858459472656 × 2 - 1) × π
    0.568283081054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.78531395254975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12871058} λ = -0.12871058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78531395254975))-π/2
    2×atan(5.9614512666399)-π/2
    2×1.40459923833314-π/2
    2.80919847666628-1.57079632675     		φ = 1.23840215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12871058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.374573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23840215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.955217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62851 KachelY 28293 -0.12871058 1.23840215 -7.374573 70.955217
    Oben rechts KachelX + 1 62852 KachelY 28293 -0.12866264 1.23840215 -7.371826 70.955217
    Unten links KachelX 62851 KachelY + 1 28294 -0.12871058 1.23838651 -7.374573 70.954320
    Unten rechts KachelX + 1 62852 KachelY + 1 28294 -0.12866264 1.23838651 -7.371826 70.954320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23840215-1.23838651) × R
    1.56399999999834e-05 × 6371000     		dl = 99.6424399998945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23840215-1.23838651) × R
    1.56399999999834e-05 × 6371000     		dr = 99.6424399998945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12871058--0.12866264) × cos(1.23840215) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.326307090136634 × 6371000     		do = 99.6625844722203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12871058--0.12866264) × cos(1.23838651) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.326321874022815 × 6371000     		du = 99.6670998515975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23840215)-sin(1.23838651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326307090136634-0.326321874022815)×R²
    abs(-0.12866264--0.12871058)×1.47838861817018e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.47838861817018e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.47838861817018e-05×40589641000000     		ar = 9930.84805538581m²