Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62848 / 78889
↖ ↑ ↗
← S 34.400111°
W  7.382813°		 ← 252.01 m → S 34.400111°
W  7.380066°		 →
↑
252.04 m
↓
↑
252.04 m
↓
S 34.402378°
W  7.382813°		 ← 252 m →
63 515 m²		 S 34.402378°
W  7.380066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479496002197266 y=0.601879119873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479496002197266 × 217)
    floor (0.479496002197266 × 131072)
    floor (62848.5)     		tx = 62848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601879119873047 × 217)
    floor (0.601879119873047 × 131072)
    floor (78889.5)     		ty = 78889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62848 / 78889 ti = "17/62848/78889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62848/78889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62848 ÷ 217
    62848 ÷ 131072     		x = 0.4794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78889 ÷ 217
    78889 ÷ 131072     		y = 0.601875305175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    -0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601875305175781 × 2 - 1) × π
    -0.203750610351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.64010142062661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12885439} λ = -0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.64010142062661))-π/2
    2×atan(0.527238948426807)-π/2
    2×0.485200561518987-π/2
    0.970401123037974-1.57079632675     		φ = -0.60039520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60039520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.400111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62848 KachelY 78889 -0.12885439 -0.60039520 -7.382813 -34.400111
    Oben rechts KachelX + 1 62849 KachelY 78889 -0.12880645 -0.60039520 -7.380066 -34.400111
    Unten links KachelX 62848 KachelY + 1 78890 -0.12885439 -0.60043476 -7.382813 -34.402378
    Unten rechts KachelX + 1 62849 KachelY + 1 78890 -0.12880645 -0.60043476 -7.380066 -34.402378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60039520--0.60043476) × R
    3.95599999999385e-05 × 6371000     		dl = 252.036759999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60039520--0.60043476) × R
    3.95599999999385e-05 × 6371000     		dr = 252.036759999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12885439--0.12880645) × cos(-0.60039520) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.825112403758289 × 6371000     		do = 252.010566501181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12885439--0.12880645) × cos(-0.60043476) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.825090052954755 × 6371000     		du = 252.003739990472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60039520)-sin(-0.60043476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825112403758289-0.825090052954755)×R²
    abs(-0.12880645--0.12885439)×2.23508035341879e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23508035341879e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23508035341879e-05×40589641000000     		ar = 63515.0664090831m²