Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62848 / 38782
↖ ↑ ↗
← N 58.998141°
W  7.382813°		 ← 157.31 m → N 58.998141°
W  7.380066°		 →
↑
157.30 m
↓
↑
157.30 m
↓
N 58.996726°
W  7.382813°		 ← 157.32 m →
24 746 m²		 N 58.996726°
W  7.380066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479496002197266 y=0.295886993408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479496002197266 × 217)
    floor (0.479496002197266 × 131072)
    floor (62848.5)     		tx = 62848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295886993408203 × 217)
    floor (0.295886993408203 × 131072)
    floor (38782.5)     		ty = 38782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62848 / 38782 ti = "17/62848/38782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62848/38782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62848 ÷ 217
    62848 ÷ 131072     		x = 0.4794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38782 ÷ 217
    38782 ÷ 131072     		y = 0.295883178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    -0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295883178710938 × 2 - 1) × π
    0.408233642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28250381243498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12885439} λ = -0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28250381243498))-π/2
    2×atan(3.60565632005854)-π/2
    2×1.30025406679867-π/2
    2.60050813359734-1.57079632675     		φ = 1.02971181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02971181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.998141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62848 KachelY 38782 -0.12885439 1.02971181 -7.382813 58.998141
    Oben rechts KachelX + 1 62849 KachelY 38782 -0.12880645 1.02971181 -7.380066 58.998141
    Unten links KachelX 62848 KachelY + 1 38783 -0.12885439 1.02968712 -7.382813 58.996726
    Unten rechts KachelX + 1 62849 KachelY + 1 38783 -0.12880645 1.02968712 -7.380066 58.996726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02971181-1.02968712) × R
    2.46900000000494e-05 × 6371000     		dl = 157.299990000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02971181-1.02968712) × R
    2.46900000000494e-05 × 6371000     		dr = 157.299990000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12885439--0.12880645) × cos(1.02971181) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.515065888583482 × 6371000     		do = 157.314380169447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12885439--0.12880645) × cos(1.02968712) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.515087051474506 × 6371000     		du = 157.320843861098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02971181)-sin(1.02968712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515065888583482-0.515087051474506)×R²
    abs(-0.12880645--0.12885439)×2.11628910232742e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11628910232742e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11628910232742e-05×40589641000000     		ar = 24746.0587982454m²