Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62848 / 28291
↖ ↑ ↗
← N 70.957009°
W  7.382813°		 ← 99.65 m → N 70.957009°
W  7.380066°		 →
↑
99.64 m
↓
↑
99.64 m
↓
N 70.956113°
W  7.382813°		 ← 99.66 m →
9 930 m²		 N 70.956113°
W  7.380066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479496002197266 y=0.215847015380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479496002197266 × 217)
    floor (0.479496002197266 × 131072)
    floor (62848.5)     		tx = 62848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215847015380859 × 217)
    floor (0.215847015380859 × 131072)
    floor (28291.5)     		ty = 28291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62848 / 28291 ti = "17/62848/28291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62848/28291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62848 ÷ 217
    62848 ÷ 131072     		x = 0.4794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28291 ÷ 217
    28291 ÷ 131072     		y = 0.215843200683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    -0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215843200683594 × 2 - 1) × π
    0.568313598632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.78540982634899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12885439} λ = -0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78540982634899))-π/2
    2×atan(5.96202284102089)-π/2
    2×1.4046148797746-π/2
    2.8092297595492-1.57079632675     		φ = 1.23843343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23843343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.957009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62848 KachelY 28291 -0.12885439 1.23843343 -7.382813 70.957009
    Oben rechts KachelX + 1 62849 KachelY 28291 -0.12880645 1.23843343 -7.380066 70.957009
    Unten links KachelX 62848 KachelY + 1 28292 -0.12885439 1.23841779 -7.382813 70.956113
    Unten rechts KachelX + 1 62849 KachelY + 1 28292 -0.12880645 1.23841779 -7.380066 70.956113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23843343-1.23841779) × R
    1.56399999999834e-05 × 6371000     		dl = 99.6424399998945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23843343-1.23841779) × R
    1.56399999999834e-05 × 6371000     		dr = 99.6424399998945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12885439--0.12880645) × cos(1.23843343) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.32627752212482 × 6371000     		do = 99.6535536403896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12885439--0.12880645) × cos(1.23841779) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.326292306170634 × 6371000     		du = 99.6580690685225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23843343)-sin(1.23841779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32627752212482-0.326292306170634)×R²
    abs(-0.12880645--0.12885439)×1.47840458137316e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.47840458137316e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.47840458137316e-05×40589641000000     		ar = 9929.94820377143m²