Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62847 / 76158
↖ ↑ ↗
← S 27.989551°
W  7.385559°		 ← 269.64 m → S 27.989551°
W  7.382813°		 →
↑
269.68 m
↓
↑
269.68 m
↓
S 27.991976°
W  7.385559°		 ← 269.64 m →
72 718 m²		 S 27.991976°
W  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479488372802734 y=0.581043243408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479488372802734 × 217)
    floor (0.479488372802734 × 131072)
    floor (62847.5)     		tx = 62847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581043243408203 × 217)
    floor (0.581043243408203 × 131072)
    floor (76158.5)     		ty = 76158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62847 / 76158 ti = "17/62847/76158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62847/76158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62847 ÷ 217
    62847 ÷ 131072     		x = 0.479484558105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76158 ÷ 217
    76158 ÷ 131072     		y = 0.581039428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479484558105469 × 2 - 1) × π
    -0.0410308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12890232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581039428710938 × 2 - 1) × π
    -0.162078857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.509185747764236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12890232} λ = -0.12890232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509185747764236))-π/2
    2×atan(0.600984732800218)-π/2
    2×0.541143253951381-π/2
    1.08228650790276-1.57079632675     		φ = -0.48850982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12890232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.385559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48850982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.989551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62847 KachelY 76158 -0.12890232 -0.48850982 -7.385559 -27.989551
    Oben rechts KachelX + 1 62848 KachelY 76158 -0.12885439 -0.48850982 -7.382813 -27.989551
    Unten links KachelX 62847 KachelY + 1 76159 -0.12890232 -0.48855215 -7.385559 -27.991976
    Unten rechts KachelX + 1 62848 KachelY + 1 76159 -0.12885439 -0.48855215 -7.382813 -27.991976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48850982--0.48855215) × R
    4.23300000000348e-05 × 6371000     		dl = 269.684430000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48850982--0.48855215) × R
    4.23300000000348e-05 × 6371000     		dr = 269.684430000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12890232--0.12885439) × cos(-0.48850982) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.88303319596653 × 6371000     		do = 269.64480927758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12890232--0.12885439) × cos(-0.48855215) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.883013329260623 × 6371000     		du = 269.638742739935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48850982)-sin(-0.48855215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88303319596653-0.883013329260623)×R²
    abs(-0.12885439--0.12890232)×1.98667059077007e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.98667059077007e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.98667059077007e-05×40589641000000     		ar = 72718.1886779716m²