Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62846 / 76158
↖ ↑ ↗
← S 27.989551°
W  7.388306°		 ← 269.70 m → S 27.989551°
W  7.385559°		 →
↑
269.68 m
↓
↑
269.68 m
↓
S 27.991976°
W  7.388306°		 ← 269.69 m →
72 733 m²		 S 27.991976°
W  7.385559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479480743408203 y=0.581043243408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479480743408203 × 217)
    floor (0.479480743408203 × 131072)
    floor (62846.5)     		tx = 62846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581043243408203 × 217)
    floor (0.581043243408203 × 131072)
    floor (76158.5)     		ty = 76158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62846 / 76158 ti = "17/62846/76158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62846/76158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62846 ÷ 217
    62846 ÷ 131072     		x = 0.479476928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76158 ÷ 217
    76158 ÷ 131072     		y = 0.581039428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479476928710938 × 2 - 1) × π
    -0.041046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12895026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581039428710938 × 2 - 1) × π
    -0.162078857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.509185747764236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12895026} λ = -0.12895026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509185747764236))-π/2
    2×atan(0.600984732800218)-π/2
    2×0.541143253951381-π/2
    1.08228650790276-1.57079632675     		φ = -0.48850982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12895026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.388306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48850982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.989551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62846 KachelY 76158 -0.12895026 -0.48850982 -7.388306 -27.989551
    Oben rechts KachelX + 1 62847 KachelY 76158 -0.12890232 -0.48850982 -7.385559 -27.989551
    Unten links KachelX 62846 KachelY + 1 76159 -0.12895026 -0.48855215 -7.388306 -27.991976
    Unten rechts KachelX + 1 62847 KachelY + 1 76159 -0.12890232 -0.48855215 -7.385559 -27.991976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48850982--0.48855215) × R
    4.23300000000348e-05 × 6371000     		dl = 269.684430000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48850982--0.48855215) × R
    4.23300000000348e-05 × 6371000     		dr = 269.684430000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12895026--0.12890232) × cos(-0.48850982) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.88303319596653 × 6371000     		do = 269.701067322778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12895026--0.12890232) × cos(-0.48855215) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883013329260623 × 6371000     		du = 269.694999519425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48850982)-sin(-0.48855215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88303319596653-0.883013329260623)×R²
    abs(-0.12890232--0.12895026)×1.98667059077007e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.98667059077007e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.98667059077007e-05×40589641000000     		ar = 72733.360426155m²