Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62844 / 78891
↖ ↑ ↗
← S 34.404644°
W  7.393799°		 ← 251.94 m → S 34.404644°
W  7.391052°		 →
↑
251.97 m
↓
↑
251.97 m
↓
S 34.406910°
W  7.393799°		 ← 251.94 m →
63 482 m²		 S 34.406910°
W  7.391052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479465484619141 y=0.601894378662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479465484619141 × 217)
    floor (0.479465484619141 × 131072)
    floor (62844.5)     		tx = 62844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601894378662109 × 217)
    floor (0.601894378662109 × 131072)
    floor (78891.5)     		ty = 78891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62844 / 78891 ti = "17/62844/78891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62844/78891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62844 ÷ 217
    62844 ÷ 131072     		x = 0.479461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78891 ÷ 217
    78891 ÷ 131072     		y = 0.601890563964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.04107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12904613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601890563964844 × 2 - 1) × π
    -0.203781127929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.64019729442585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12904613} λ = -0.12904613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.64019729442585))-π/2
    2×atan(0.52718840244877)-π/2
    2×0.485161009259853-π/2
    0.970322018519706-1.57079632675     		φ = -0.60047431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12904613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.393799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60047431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.404644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62844 KachelY 78891 -0.12904613 -0.60047431 -7.393799 -34.404644
    Oben rechts KachelX + 1 62845 KachelY 78891 -0.12899820 -0.60047431 -7.391052 -34.404644
    Unten links KachelX 62844 KachelY + 1 78892 -0.12904613 -0.60051386 -7.393799 -34.406910
    Unten rechts KachelX + 1 62845 KachelY + 1 78892 -0.12899820 -0.60051386 -7.391052 -34.406910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60047431--0.60051386) × R
    3.95499999999993e-05 × 6371000     		dl = 251.973049999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60047431--0.60051386) × R
    3.95499999999993e-05 × 6371000     		dr = 251.973049999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12904613--0.12899820) × cos(-0.60047431) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.825067706510299 × 6371000     		do = 251.944349747437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12904613--0.12899820) × cos(-0.60051386) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.82504535877527 × 6371000     		du = 251.937525597703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60047431)-sin(-0.60051386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825067706510299-0.82504535877527)×R²
    abs(-0.12899820--0.12904613)×2.23477350290713e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23477350290713e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23477350290713e-05×40589641000000     		ar = 63482.326493447m²