Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62843 / 76927
↖ ↑ ↗
← S 29.838262°
W  7.396545°		 ← 264.94 m → S 29.838262°
W  7.393799°		 →
↑
264.91 m
↓
↑
264.91 m
↓
S 29.840644°
W  7.396545°		 ← 264.93 m →
70 182 m²		 S 29.840644°
W  7.393799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479457855224609 y=0.586910247802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479457855224609 × 217)
    floor (0.479457855224609 × 131072)
    floor (62843.5)     		tx = 62843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586910247802734 × 217)
    floor (0.586910247802734 × 131072)
    floor (76927.5)     		ty = 76927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62843 / 76927 ti = "17/62843/76927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62843/76927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62843 ÷ 217
    62843 ÷ 131072     		x = 0.479454040527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76927 ÷ 217
    76927 ÷ 131072     		y = 0.586906433105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479454040527344 × 2 - 1) × π
    -0.0410919189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12909407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586906433105469 × 2 - 1) × π
    -0.173812866210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.54604922357206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12909407} λ = -0.12909407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54604922357206))-π/2
    2×atan(0.579233718726347)-π/2
    2×0.525010210706221-π/2
    1.05002042141244-1.57079632675     		φ = -0.52077591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12909407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.396545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52077591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.838262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62843 KachelY 76927 -0.12909407 -0.52077591 -7.396545 -29.838262
    Oben rechts KachelX + 1 62844 KachelY 76927 -0.12904613 -0.52077591 -7.393799 -29.838262
    Unten links KachelX 62843 KachelY + 1 76928 -0.12909407 -0.52081749 -7.396545 -29.840644
    Unten rechts KachelX + 1 62844 KachelY + 1 76928 -0.12904613 -0.52081749 -7.393799 -29.840644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52077591--0.52081749) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dl = 264.906179999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52077591--0.52081749) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dr = 264.906179999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12909407--0.12904613) × cos(-0.52077591) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.867433384219257 × 6371000     		do = 264.93648327585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12909407--0.12904613) × cos(-0.52081749) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.867412695201626 × 6371000     		du = 264.930164317331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52077591)-sin(-0.52081749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867433384219257-0.867412695201626)×R²
    abs(-0.12904613--0.12909407)×2.06890176304153e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.06890176304153e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.06890176304153e-05×40589641000000     		ar = 70182.4747717498m²