Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62843 / 76793
↖ ↑ ↗
← S 29.518500°
W  7.396545°		 ← 265.78 m → S 29.518500°
W  7.393799°		 →
↑
265.80 m
↓
↑
265.80 m
↓
S 29.520891°
W  7.396545°		 ← 265.77 m →
70 643 m²		 S 29.520891°
W  7.393799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479457855224609 y=0.585887908935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479457855224609 × 217)
    floor (0.479457855224609 × 131072)
    floor (62843.5)     		tx = 62843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585887908935547 × 217)
    floor (0.585887908935547 × 131072)
    floor (76793.5)     		ty = 76793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62843 / 76793 ti = "17/62843/76793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62843/76793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62843 ÷ 217
    62843 ÷ 131072     		x = 0.479454040527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76793 ÷ 217
    76793 ÷ 131072     		y = 0.585884094238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479454040527344 × 2 - 1) × π
    -0.0410919189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12909407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585884094238281 × 2 - 1) × π
    -0.171768188476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.539625679022972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12909407} λ = -0.12909407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539625679022972))-π/2
    2×atan(0.582966428100508)-π/2
    2×0.527800651583685-π/2
    1.05560130316737-1.57079632675     		φ = -0.51519502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12909407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.396545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51519502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.518500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62843 KachelY 76793 -0.12909407 -0.51519502 -7.396545 -29.518500
    Oben rechts KachelX + 1 62844 KachelY 76793 -0.12904613 -0.51519502 -7.393799 -29.518500
    Unten links KachelX 62843 KachelY + 1 76794 -0.12909407 -0.51523674 -7.396545 -29.520891
    Unten rechts KachelX + 1 62844 KachelY + 1 76794 -0.12904613 -0.51523674 -7.393799 -29.520891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51519502--0.51523674) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dl = 265.798120000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51519502--0.51523674) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dr = 265.798120000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12909407--0.12904613) × cos(-0.51519502) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.870196651602581 × 6371000     		do = 265.78045626122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12909407--0.12904613) × cos(-0.51523674) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.870176095210856 × 6371000     		du = 265.774177810066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51519502)-sin(-0.51523674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870196651602581-0.870176095210856)×R²
    abs(-0.12904613--0.12909407)×2.05563917246021e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.05563917246021e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.05563917246021e-05×40589641000000     		ar = 70643.1112170162m²