Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62841 / 78904
↖ ↑ ↗
← S 34.434098°
W  7.402038°		 ← 251.86 m → S 34.434098°
W  7.399292°		 →
↑
251.91 m
↓
↑
251.91 m
↓
S 34.436363°
W  7.402038°		 ← 251.85 m →
63 444 m²		 S 34.436363°
W  7.399292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479442596435547 y=0.601993560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479442596435547 × 217)
    floor (0.479442596435547 × 131072)
    floor (62841.5)     		tx = 62841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601993560791016 × 217)
    floor (0.601993560791016 × 131072)
    floor (78904.5)     		ty = 78904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62841 / 78904 ti = "17/62841/78904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62841/78904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62841 ÷ 217
    62841 ÷ 131072     		x = 0.479438781738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78904 ÷ 217
    78904 ÷ 131072     		y = 0.60198974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479438781738281 × 2 - 1) × π
    -0.0411224365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12918994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60198974609375 × 2 - 1) × π
    -0.2039794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.640820474120911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12918994} λ = -0.12918994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.640820474120911))-π/2
    2×atan(0.526859971687212)-π/2
    2×0.484903971806366-π/2
    0.969807943612732-1.57079632675     		φ = -0.60098838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12918994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.402038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60098838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.434098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62841 KachelY 78904 -0.12918994 -0.60098838 -7.402038 -34.434098
    Oben rechts KachelX + 1 62842 KachelY 78904 -0.12914201 -0.60098838 -7.399292 -34.434098
    Unten links KachelX 62841 KachelY + 1 78905 -0.12918994 -0.60102792 -7.402038 -34.436363
    Unten rechts KachelX + 1 62842 KachelY + 1 78905 -0.12914201 -0.60102792 -7.399292 -34.436363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60098838--0.60102792) × R
    3.95400000000601e-05 × 6371000     		dl = 251.909340000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60098838--0.60102792) × R
    3.95400000000601e-05 × 6371000     		dr = 251.909340000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12918994--0.12914201) × cos(-0.60098838) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.824777130539594 × 6371000     		do = 251.855618879154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12918994--0.12914201) × cos(-0.60102792) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.824754771687813 × 6371000     		du = 251.848791334785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60098838)-sin(-0.60102792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824777130539594-0.824754771687813)×R²
    abs(-0.12914201--0.12918994)×2.23588517808126e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23588517808126e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23588517808126e-05×40589641000000     		ar = 63443.9227745538m²