Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62838 / 78906
↖ ↑ ↗
← S 34.438629°
W  7.410279°		 ← 251.89 m → S 34.438629°
W  7.407532°		 →
↑
251.85 m
↓
↑
251.85 m
↓
S 34.440894°
W  7.410279°		 ← 251.89 m →
63 438 m²		 S 34.440894°
W  7.407532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479419708251953 y=0.602008819580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479419708251953 × 217)
    floor (0.479419708251953 × 131072)
    floor (62838.5)     		tx = 62838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602008819580078 × 217)
    floor (0.602008819580078 × 131072)
    floor (78906.5)     		ty = 78906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62838 / 78906 ti = "17/62838/78906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62838/78906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62838 ÷ 217
    62838 ÷ 131072     		x = 0.479415893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78906 ÷ 217
    78906 ÷ 131072     		y = 0.602005004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479415893554688 × 2 - 1) × π
    -0.041168212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12933376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602005004882812 × 2 - 1) × π
    -0.204010009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.640916347920151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12933376} λ = -0.12933376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.640916347920151))-π/2
    2×atan(0.526809462041373)-π/2
    2×0.484864435619667-π/2
    0.969728871239335-1.57079632675     		φ = -0.60106746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12933376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.410279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60106746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.438629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62838 KachelY 78906 -0.12933376 -0.60106746 -7.410279 -34.438629
    Oben rechts KachelX + 1 62839 KachelY 78906 -0.12928582 -0.60106746 -7.407532 -34.438629
    Unten links KachelX 62838 KachelY + 1 78907 -0.12933376 -0.60110699 -7.410279 -34.440894
    Unten rechts KachelX + 1 62839 KachelY + 1 78907 -0.12928582 -0.60110699 -7.407532 -34.440894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60106746--0.60110699) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dl = 251.845630000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60106746--0.60110699) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dr = 251.845630000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12933376--0.12928582) × cos(-0.60106746) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.824732411546601 × 6371000     		do = 251.894507098586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12933376--0.12928582) × cos(-0.60110699) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.82471005577155 × 6371000     		du = 251.887679069448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60106746)-sin(-0.60110699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824732411546601-0.82471005577155)×R²
    abs(-0.12928582--0.12933376)×2.23557750504977e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23557750504977e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23557750504977e-05×40589641000000     		ar = 63437.6710373059m²