Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62838 / 76739
↖ ↑ ↗
← S 29.389354°
W  7.410279°		 ← 266.12 m → S 29.389354°
W  7.407532°		 →
↑
266.12 m
↓
↑
266.12 m
↓
S 29.391748°
W  7.410279°		 ← 266.11 m →
70 818 m²		 S 29.391748°
W  7.407532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479419708251953 y=0.585475921630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479419708251953 × 217)
    floor (0.479419708251953 × 131072)
    floor (62838.5)     		tx = 62838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585475921630859 × 217)
    floor (0.585475921630859 × 131072)
    floor (76739.5)     		ty = 76739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62838 / 76739 ti = "17/62838/76739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62838/76739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62838 ÷ 217
    62838 ÷ 131072     		x = 0.479415893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76739 ÷ 217
    76739 ÷ 131072     		y = 0.585472106933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479415893554688 × 2 - 1) × π
    -0.041168212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12933376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585472106933594 × 2 - 1) × π
    -0.170944213867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.537037086443489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12933376} λ = -0.12933376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.537037086443489))-π/2
    2×atan(0.584477445530877)-π/2
    2×0.528927661473332-π/2
    1.05785532294666-1.57079632675     		φ = -0.51294100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12933376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.410279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51294100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.389354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62838 KachelY 76739 -0.12933376 -0.51294100 -7.410279 -29.389354
    Oben rechts KachelX + 1 62839 KachelY 76739 -0.12928582 -0.51294100 -7.407532 -29.389354
    Unten links KachelX 62838 KachelY + 1 76740 -0.12933376 -0.51298277 -7.410279 -29.391748
    Unten rechts KachelX + 1 62839 KachelY + 1 76740 -0.12928582 -0.51298277 -7.407532 -29.391748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51294100--0.51298277) × R
    4.1770000000052e-05 × 6371000     		dl = 266.116670000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51294100--0.51298277) × R
    4.1770000000052e-05 × 6371000     		dr = 266.116670000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12933376--0.12928582) × cos(-0.51294100) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.871305006041589 × 6371000     		do = 266.118976235936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12933376--0.12928582) × cos(-0.51298277) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.87128450699344 × 6371000     		du = 266.112715298986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51294100)-sin(-0.51298277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871305006041589-0.87128450699344)×R²
    abs(-0.12928582--0.12933376)×2.04990481491585e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.04990481491585e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.04990481491585e-05×40589641000000     		ar = 70817.8627202529m²