Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62837 / 78887
↖ ↑ ↗
← S 34.395578°
W  7.413025°		 ← 251.97 m → S 34.395578°
W  7.410279°		 →
↑
252.04 m
↓
↑
252.04 m
↓
S 34.397845°
W  7.413025°		 ← 251.96 m →
63 505 m²		 S 34.397845°
W  7.410279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479412078857422 y=0.601863861083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479412078857422 × 217)
    floor (0.479412078857422 × 131072)
    floor (62837.5)     		tx = 62837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601863861083984 × 217)
    floor (0.601863861083984 × 131072)
    floor (78887.5)     		ty = 78887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62837 / 78887 ti = "17/62837/78887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62837/78887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62837 ÷ 217
    62837 ÷ 131072     		x = 0.479408264160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78887 ÷ 217
    78887 ÷ 131072     		y = 0.601860046386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479408264160156 × 2 - 1) × π
    -0.0411834716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12938169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601860046386719 × 2 - 1) × π
    -0.203720092773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.64000554682737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12938169} λ = -0.12938169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.64000554682737))-π/2
    2×atan(0.527289499251111)-π/2
    2×0.485240115920554-π/2
    0.970480231841108-1.57079632675     		φ = -0.60031609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12938169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.413025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60031609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.395578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62837 KachelY 78887 -0.12938169 -0.60031609 -7.413025 -34.395578
    Oben rechts KachelX + 1 62838 KachelY 78887 -0.12933376 -0.60031609 -7.410279 -34.395578
    Unten links KachelX 62837 KachelY + 1 78888 -0.12938169 -0.60035565 -7.413025 -34.397845
    Unten rechts KachelX + 1 62838 KachelY + 1 78888 -0.12933376 -0.60035565 -7.410279 -34.397845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60031609--0.60035565) × R
    3.95600000000496e-05 × 6371000     		dl = 252.036760000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60031609--0.60035565) × R
    3.95600000000496e-05 × 6371000     		dr = 252.036760000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12938169--0.12933376) × cos(-0.60031609) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.825157095842403 × 6371000     		do = 251.971645855349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12938169--0.12933376) × cos(-0.60035565) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.825134747621168 × 6371000     		du = 251.964821557146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60031609)-sin(-0.60035565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825157095842403-0.825134747621168)×R²
    abs(-0.12933376--0.12938169)×2.23482212344805e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23482212344805e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23482212344805e-05×40589641000000     		ar = 63505.2572546165m²