Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62833 / 79239
↖ ↑ ↗
← S 35.189523°
W  7.424011°		 ← 249.61 m → S 35.189523°
W  7.421264°		 →
↑
249.55 m
↓
↑
249.55 m
↓
S 35.191767°
W  7.424011°		 ← 249.60 m →
62 290 m²		 S 35.191767°
W  7.421264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479381561279297 y=0.604549407958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479381561279297 × 217)
    floor (0.479381561279297 × 131072)
    floor (62833.5)     		tx = 62833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604549407958984 × 217)
    floor (0.604549407958984 × 131072)
    floor (79239.5)     		ty = 79239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62833 / 79239 ti = "17/62833/79239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62833/79239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62833 ÷ 217
    62833 ÷ 131072     		x = 0.479377746582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79239 ÷ 217
    79239 ÷ 131072     		y = 0.604545593261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479377746582031 × 2 - 1) × π
    -0.0412445068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12957344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.604545593261719 × 2 - 1) × π
    -0.209091186523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.656879335493629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12957344} λ = -0.12957344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.656879335493629))-π/2
    2×atan(0.518466773416773)-π/2
    2×0.47831164978209-π/2
    0.95662329956418-1.57079632675     		φ = -0.61417303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12957344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.424011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61417303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.189523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62833 KachelY 79239 -0.12957344 -0.61417303 -7.424011 -35.189523
    Oben rechts KachelX + 1 62834 KachelY 79239 -0.12952550 -0.61417303 -7.421264 -35.189523
    Unten links KachelX 62833 KachelY + 1 79240 -0.12957344 -0.61421220 -7.424011 -35.191767
    Unten rechts KachelX + 1 62834 KachelY + 1 79240 -0.12952550 -0.61421220 -7.421264 -35.191767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61417303--0.61421220) × R
    3.91699999999773e-05 × 6371000     		dl = 249.552069999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61417303--0.61421220) × R
    3.91699999999773e-05 × 6371000     		dr = 249.552069999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12957344--0.12952550) × cos(-0.61417303) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.817250294948371 × 6371000     		do = 249.60927609995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12957344--0.12952550) × cos(-0.61421220) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.817227721321098 × 6371000     		du = 249.602381533136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61417303)-sin(-0.61421220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.817250294948371-0.817227721321098)×R²
    abs(-0.12952550--0.12957344)×2.25736272722044e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25736272722044e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25736272722044e-05×40589641000000     		ar = 62289.6512732068m²