Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62832 / 33968
↖ ↑ ↗
← N 65.164579°
W  7.426758°		 ← 128.28 m → N 65.164579°
W  7.424011°		 →
↑
128.31 m
↓
↑
128.31 m
↓
N 65.163425°
W  7.426758°		 ← 128.29 m →
16 461 m²		 N 65.163425°
W  7.424011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479373931884766 y=0.259159088134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479373931884766 × 217)
    floor (0.479373931884766 × 131072)
    floor (62832.5)     		tx = 62832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259159088134766 × 217)
    floor (0.259159088134766 × 131072)
    floor (33968.5)     		ty = 33968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62832 / 33968 ti = "17/62832/33968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62832/33968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62832 ÷ 217
    62832 ÷ 131072     		x = 0.4793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33968 ÷ 217
    33968 ÷ 131072     		y = 0.2591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12962138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2591552734375 × 2 - 1) × π
    0.481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51327204720593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12962138} λ = -0.12962138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51327204720593))-π/2
    2×atan(4.54156672986605)-π/2
    2×1.35406639198922-π/2
    2.70813278397843-1.57079632675     		φ = 1.13733646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12962138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13733646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.164579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62832 KachelY 33968 -0.12962138 1.13733646 -7.426758 65.164579
    Oben rechts KachelX + 1 62833 KachelY 33968 -0.12957344 1.13733646 -7.424011 65.164579
    Unten links KachelX 62832 KachelY + 1 33969 -0.12962138 1.13731632 -7.426758 65.163425
    Unten rechts KachelX + 1 62833 KachelY + 1 33969 -0.12957344 1.13731632 -7.424011 65.163425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13733646-1.13731632) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dl = 128.311939999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13733646-1.13731632) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dr = 128.311939999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12962138--0.12957344) × cos(1.13733646) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420013201459149 × 6371000     		do = 128.28284286542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12962138--0.12957344) × cos(1.13731632) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420031478786377 × 6371000     		du = 128.288425231614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13733646)-sin(1.13731632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420013201459149-0.420031478786377)×R²
    abs(-0.12957344--0.12962138)×1.82773272280334e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82773272280334e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82773272280334e-05×40589641000000     		ar = 16460.578579583m²