Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62824 / 31528
↖ ↑ ↗
← N 67.834128°
W  7.448730°		 ← 115.23 m → N 67.834128°
W  7.445984°		 →
↑
115.25 m
↓
↑
115.25 m
↓
N 67.833092°
W  7.448730°		 ← 115.24 m →
13 281 m²		 N 67.833092°
W  7.445984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479312896728516 y=0.240543365478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479312896728516 × 217)
    floor (0.479312896728516 × 131072)
    floor (62824.5)     		tx = 62824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240543365478516 × 217)
    floor (0.240543365478516 × 131072)
    floor (31528.5)     		ty = 31528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62824 / 31528 ti = "17/62824/31528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62824/31528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62824 ÷ 217
    62824 ÷ 131072     		x = 0.47930908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31528 ÷ 217
    31528 ÷ 131072     		y = 0.24053955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47930908203125 × 2 - 1) × π
    -0.0413818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13000487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24053955078125 × 2 - 1) × π
    0.5189208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.63023808227887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13000487} λ = -0.13000487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63023808227887))-π/2
    2×atan(5.10509000532416)-π/2
    2×1.37736260191417-π/2
    2.75472520382833-1.57079632675     		φ = 1.18392888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13000487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.448730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18392888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.834128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62824 KachelY 31528 -0.13000487 1.18392888 -7.448730 67.834128
    Oben rechts KachelX + 1 62825 KachelY 31528 -0.12995693 1.18392888 -7.445984 67.834128
    Unten links KachelX 62824 KachelY + 1 31529 -0.13000487 1.18391079 -7.448730 67.833092
    Unten rechts KachelX + 1 62825 KachelY + 1 31529 -0.12995693 1.18391079 -7.445984 67.833092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18392888-1.18391079) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dl = 115.251389999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18392888-1.18391079) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dr = 115.251389999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13000487--0.12995693) × cos(1.18392888) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.377289227649855 × 6371000     		do = 115.233841548977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13000487--0.12995693) × cos(1.18391079) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.37730598065536 × 6371000     		du = 115.23895834808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18392888)-sin(1.18391079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377289227649855-0.37730598065536)×R²
    abs(-0.12995693--0.13000487)×1.67530055047438e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.67530055047438e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.67530055047438e-05×40589641000000     		ar = 13281.1552729219m²