Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62823 / 38942
↖ ↑ ↗
← N 58.771048°
W  7.451477°		 ← 158.35 m → N 58.771048°
W  7.448730°		 →
↑
158.38 m
↓
↑
158.38 m
↓
N 58.769624°
W  7.451477°		 ← 158.36 m →
25 081 m²		 N 58.769624°
W  7.448730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479305267333984 y=0.297107696533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479305267333984 × 217)
    floor (0.479305267333984 × 131072)
    floor (62823.5)     		tx = 62823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297107696533203 × 217)
    floor (0.297107696533203 × 131072)
    floor (38942.5)     		ty = 38942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62823 / 38942 ti = "17/62823/38942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62823/38942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62823 ÷ 217
    62823 ÷ 131072     		x = 0.479301452636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38942 ÷ 217
    38942 ÷ 131072     		y = 0.297103881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479301452636719 × 2 - 1) × π
    -0.0413970947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13005281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297103881835938 × 2 - 1) × π
    0.405792236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27483390849577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13005281} λ = -0.13005281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27483390849577))-π/2
    2×atan(3.57810706756019)-π/2
    2×1.29827231185646-π/2
    2.59654462371292-1.57079632675     		φ = 1.02574830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13005281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.451477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02574830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.771048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62823 KachelY 38942 -0.13005281 1.02574830 -7.451477 58.771048
    Oben rechts KachelX + 1 62824 KachelY 38942 -0.13000487 1.02574830 -7.448730 58.771048
    Unten links KachelX 62823 KachelY + 1 38943 -0.13005281 1.02572344 -7.451477 58.769624
    Unten rechts KachelX + 1 62824 KachelY + 1 38943 -0.13000487 1.02572344 -7.448730 58.769624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02574830-1.02572344) × R
    2.48600000001264e-05 × 6371000     		dl = 158.383060000806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02574830-1.02572344) × R
    2.48600000001264e-05 × 6371000     		dr = 158.383060000806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13005281--0.13000487) × cos(1.02574830) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.518459158929621 × 6371000     		do = 158.350772275845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13005281--0.13000487) × cos(1.02572344) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.518480416614871 × 6371000     		du = 158.357264920093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02574830)-sin(1.02572344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518459158929621-0.518480416614871)×R²
    abs(-0.13000487--0.13005281)×2.12576852499646e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12576852499646e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12576852499646e-05×40589641000000     		ar = 25080.5940302143m²