Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62822 / 38830
↖ ↑ ↗
← N 58.930170°
W  7.454224°		 ← 157.62 m → N 58.930170°
W  7.451477°		 →
↑
157.62 m
↓
↑
157.62 m
↓
N 58.928752°
W  7.454224°		 ← 157.63 m →
24 845 m²		 N 58.928752°
W  7.451477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479297637939453 y=0.296253204345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479297637939453 × 217)
    floor (0.479297637939453 × 131072)
    floor (62822.5)     		tx = 62822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296253204345703 × 217)
    floor (0.296253204345703 × 131072)
    floor (38830.5)     		ty = 38830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62822 / 38830 ti = "17/62822/38830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62822/38830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62822 ÷ 217
    62822 ÷ 131072     		x = 0.479293823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38830 ÷ 217
    38830 ÷ 131072     		y = 0.296249389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479293823242188 × 2 - 1) × π
    -0.041412353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13010075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296249389648438 × 2 - 1) × π
    0.407501220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28020284125322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13010075} λ = -0.13010075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28020284125322))-π/2
    2×atan(3.5973693464747)-π/2
    2×1.29966090630462-π/2
    2.59932181260923-1.57079632675     		φ = 1.02852549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13010075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.454224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02852549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.930170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62822 KachelY 38830 -0.13010075 1.02852549 -7.454224 58.930170
    Oben rechts KachelX + 1 62823 KachelY 38830 -0.13005281 1.02852549 -7.451477 58.930170
    Unten links KachelX 62822 KachelY + 1 38831 -0.13010075 1.02850075 -7.454224 58.928752
    Unten rechts KachelX + 1 62823 KachelY + 1 38831 -0.13005281 1.02850075 -7.451477 58.928752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02852549-1.02850075) × R
    2.47399999999676e-05 × 6371000     		dl = 157.618539999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02852549-1.02850075) × R
    2.47399999999676e-05 × 6371000     		dr = 157.618539999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13010075--0.13005281) × cos(1.02852549) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.516082380790192 × 6371000     		do = 157.624843053794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13010075--0.13005281) × cos(1.02850075) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.516103571405923 × 6371000     		du = 157.631315213285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02852549)-sin(1.02850075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516082380790192-0.516103571405923)×R²
    abs(-0.13005281--0.13010075)×2.1190615730915e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1190615730915e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1190615730915e-05×40589641000000     		ar = 24845.1076973144m²