Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62821 / 38943
↖ ↑ ↗
← N 58.769624°
W  7.456970°		 ← 158.32 m → N 58.769624°
W  7.454224°		 →
↑
158.32 m
↓
↑
158.32 m
↓
N 58.768200°
W  7.456970°		 ← 158.33 m →
25 066 m²		 N 58.768200°
W  7.454224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479290008544922 y=0.297115325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479290008544922 × 217)
    floor (0.479290008544922 × 131072)
    floor (62821.5)     		tx = 62821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297115325927734 × 217)
    floor (0.297115325927734 × 131072)
    floor (38943.5)     		ty = 38943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62821 / 38943 ti = "17/62821/38943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62821/38943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62821 ÷ 217
    62821 ÷ 131072     		x = 0.479286193847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38943 ÷ 217
    38943 ÷ 131072     		y = 0.297111511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479286193847656 × 2 - 1) × π
    -0.0414276123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13014868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297111511230469 × 2 - 1) × π
    0.405776977539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.27478597159615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13014868} λ = -0.13014868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27478597159615))-π/2
    2×atan(3.57793554831194)-π/2
    2×1.29825988493937-π/2
    2.59651976987875-1.57079632675     		φ = 1.02572344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13014868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.456970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02572344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.769624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62821 KachelY 38943 -0.13014868 1.02572344 -7.456970 58.769624
    Oben rechts KachelX + 1 62822 KachelY 38943 -0.13010075 1.02572344 -7.454224 58.769624
    Unten links KachelX 62821 KachelY + 1 38944 -0.13014868 1.02569859 -7.456970 58.768200
    Unten rechts KachelX + 1 62822 KachelY + 1 38944 -0.13010075 1.02569859 -7.454224 58.768200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02572344-1.02569859) × R
    2.48499999999652e-05 × 6371000     		dl = 158.319349999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02572344-1.02569859) × R
    2.48499999999652e-05 × 6371000     		dr = 158.319349999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13014868--0.13010075) × cos(1.02572344) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.518480416614871 × 6371000     		do = 158.324232532768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13014868--0.13010075) × cos(1.02569859) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.518501665428924 × 6371000     		du = 158.330721113762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02572344)-sin(1.02569859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518480416614871-0.518501665428924)×R²
    abs(-0.13010075--0.13014868)×2.12488140526323e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.12488140526323e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.12488140526323e-05×40589641000000     		ar = 25066.3032190272m²