Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62820 / 76668
↖ ↑ ↗
← S 29.219302°
W  7.459717°		 ← 266.56 m → S 29.219302°
W  7.456970°		 →
↑
266.50 m
↓
↑
266.50 m
↓
S 29.221699°
W  7.459717°		 ← 266.56 m →
71 038 m²		 S 29.221699°
W  7.456970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479282379150391 y=0.584934234619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479282379150391 × 217)
    floor (0.479282379150391 × 131072)
    floor (62820.5)     		tx = 62820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584934234619141 × 217)
    floor (0.584934234619141 × 131072)
    floor (76668.5)     		ty = 76668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62820 / 76668 ti = "17/62820/76668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62820/76668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62820 ÷ 217
    62820 ÷ 131072     		x = 0.479278564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76668 ÷ 217
    76668 ÷ 131072     		y = 0.584930419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479278564453125 × 2 - 1) × π
    -0.04144287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13019662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584930419921875 × 2 - 1) × π
    -0.16986083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.533633566570465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13019662} λ = -0.13019662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533633566570465))-π/2
    2×atan(0.586470115253995)-π/2
    2×0.530411650216795-π/2
    1.06082330043359-1.57079632675     		φ = -0.50997303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13019662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.459717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50997303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.219302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62820 KachelY 76668 -0.13019662 -0.50997303 -7.459717 -29.219302
    Oben rechts KachelX + 1 62821 KachelY 76668 -0.13014868 -0.50997303 -7.456970 -29.219302
    Unten links KachelX 62820 KachelY + 1 76669 -0.13019662 -0.51001486 -7.459717 -29.221699
    Unten rechts KachelX + 1 62821 KachelY + 1 76669 -0.13014868 -0.51001486 -7.456970 -29.221699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50997303--0.51001486) × R
    4.18299999999094e-05 × 6371000     		dl = 266.498929999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50997303--0.51001486) × R
    4.18299999999094e-05 × 6371000     		dr = 266.498929999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13019662--0.13014868) × cos(-0.50997303) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872757673468689 × 6371000     		do = 266.562658259987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13019662--0.13014868) × cos(-0.51001486) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872737253235503 × 6371000     		du = 266.556421395155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50997303)-sin(-0.51001486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872757673468689-0.872737253235503)×R²
    abs(-0.13014868--0.13019662)×2.0420233185936e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0420233185936e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0420233185936e-05×40589641000000     		ar = 71037.8321554945m²