Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62819 / 76962
↖ ↑ ↗
← S 29.921613°
W  7.462464°		 ← 264.72 m → S 29.921613°
W  7.459717°		 →
↑
264.72 m
↓
↑
264.72 m
↓
S 29.923994°
W  7.462464°		 ← 264.71 m →
70 073 m²		 S 29.923994°
W  7.459717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479274749755859 y=0.587177276611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479274749755859 × 217)
    floor (0.479274749755859 × 131072)
    floor (62819.5)     		tx = 62819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587177276611328 × 217)
    floor (0.587177276611328 × 131072)
    floor (76962.5)     		ty = 76962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62819 / 76962 ti = "17/62819/76962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62819/76962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62819 ÷ 217
    62819 ÷ 131072     		x = 0.479270935058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76962 ÷ 217
    76962 ÷ 131072     		y = 0.587173461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479270935058594 × 2 - 1) × π
    -0.0414581298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13024456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587173461914062 × 2 - 1) × π
    -0.174346923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.547727015058762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13024456} λ = -0.13024456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547727015058762))-π/2
    2×atan(0.578262700135404)-π/2
    2×0.524282828435593-π/2
    1.04856565687119-1.57079632675     		φ = -0.52223067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13024456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.462464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52223067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.921613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62819 KachelY 76962 -0.13024456 -0.52223067 -7.462464 -29.921613
    Oben rechts KachelX + 1 62820 KachelY 76962 -0.13019662 -0.52223067 -7.459717 -29.921613
    Unten links KachelX 62819 KachelY + 1 76963 -0.13024456 -0.52227222 -7.462464 -29.923994
    Unten rechts KachelX + 1 62820 KachelY + 1 76963 -0.13019662 -0.52227222 -7.459717 -29.923994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52223067--0.52227222) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dl = 264.715049999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52223067--0.52227222) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dr = 264.715049999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13024456--0.13019662) × cos(-0.52223067) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866708645894851 × 6371000     		do = 264.715129536812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13024456--0.13019662) × cos(-0.52227222) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.86668791939517 × 6371000     		du = 264.70879913031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52223067)-sin(-0.52227222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866708645894851-0.86668791939517)×R²
    abs(-0.13019662--0.13024456)×2.07264996808787e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.07264996808787e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07264996808787e-05×40589641000000     		ar = 70073.2408841848m²