Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62817 / 76960
↖ ↑ ↗
← S 29.916852°
W  7.467957°		 ← 264.73 m → S 29.916852°
W  7.465210°		 →
↑
264.72 m
↓
↑
264.72 m
↓
S 29.919233°
W  7.467957°		 ← 264.72 m →
70 077 m²		 S 29.919233°
W  7.465210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479259490966797 y=0.587162017822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479259490966797 × 217)
    floor (0.479259490966797 × 131072)
    floor (62817.5)     		tx = 62817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587162017822266 × 217)
    floor (0.587162017822266 × 131072)
    floor (76960.5)     		ty = 76960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62817 / 76960 ti = "17/62817/76960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62817/76960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62817 ÷ 217
    62817 ÷ 131072     		x = 0.479255676269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76960 ÷ 217
    76960 ÷ 131072     		y = 0.587158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479255676269531 × 2 - 1) × π
    -0.0414886474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13034043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587158203125 × 2 - 1) × π
    -0.17431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.547631141259522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13034043} λ = -0.13034043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547631141259522))-π/2
    2×atan(0.578318143035143)-π/2
    2×0.524324376754385-π/2
    1.04864875350877-1.57079632675     		φ = -0.52214757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13034043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.467957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52214757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.916852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62817 KachelY 76960 -0.13034043 -0.52214757 -7.467957 -29.916852
    Oben rechts KachelX + 1 62818 KachelY 76960 -0.13029249 -0.52214757 -7.465210 -29.916852
    Unten links KachelX 62817 KachelY + 1 76961 -0.13034043 -0.52218912 -7.467957 -29.919233
    Unten rechts KachelX + 1 62818 KachelY + 1 76961 -0.13029249 -0.52218912 -7.465210 -29.919233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52214757--0.52218912) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dl = 264.715049999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52214757--0.52218912) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dr = 264.715049999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13034043--0.13029249) × cos(-0.52214757) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866750094405313 × 6371000     		do = 264.727788978792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13034043--0.13029249) × cos(-0.52218912) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866729370898244 × 6371000     		du = 264.72145948631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52214757)-sin(-0.52218912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866750094405313-0.866729370898244)×R²
    abs(-0.13029249--0.13034043)×2.07235070690537e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.07235070690537e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07235070690537e-05×40589641000000     		ar = 70076.5921499938m²