Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62813 / 76956
↖ ↑ ↗
← S 29.907329°
W  7.478943°		 ← 264.75 m → S 29.907329°
W  7.476196°		 →
↑
264.72 m
↓
↑
264.72 m
↓
S 29.909710°
W  7.478943°		 ← 264.75 m →
70 083 m²		 S 29.909710°
W  7.476196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479228973388672 y=0.587131500244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479228973388672 × 217)
    floor (0.479228973388672 × 131072)
    floor (62813.5)     		tx = 62813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587131500244141 × 217)
    floor (0.587131500244141 × 131072)
    floor (76956.5)     		ty = 76956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62813 / 76956 ti = "17/62813/76956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62813/76956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62813 ÷ 217
    62813 ÷ 131072     		x = 0.479225158691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76956 ÷ 217
    76956 ÷ 131072     		y = 0.587127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479225158691406 × 2 - 1) × π
    -0.0415496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13053218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.17425537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.547439393661041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13053218} λ = -0.13053218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547439393661041))-π/2
    2×atan(0.578429044782459)-π/2
    2×0.524407479351988-π/2
    1.04881495870398-1.57079632675     		φ = -0.52198137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13053218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.478943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52198137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.907329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62813 KachelY 76956 -0.13053218 -0.52198137 -7.478943 -29.907329
    Oben rechts KachelX + 1 62814 KachelY 76956 -0.13048424 -0.52198137 -7.476196 -29.907329
    Unten links KachelX 62813 KachelY + 1 76957 -0.13053218 -0.52202292 -7.478943 -29.909710
    Unten rechts KachelX + 1 62814 KachelY + 1 76957 -0.13048424 -0.52202292 -7.476196 -29.909710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52198137--0.52202292) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dl = 264.715049999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52198137--0.52202292) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dr = 264.715049999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13053218--0.13048424) × cos(-0.52198137) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866832973469636 × 6371000     		do = 264.753102378344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13053218--0.13048424) × cos(-0.52202292) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.86681225594822 × 6371000     		du = 264.746774714034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52198137)-sin(-0.52202292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866832973469636-0.86681225594822)×R²
    abs(-0.13048424--0.13053218)×2.07175214163025e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.07175214163025e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07175214163025e-05×40589641000000     		ar = 70083.2932297507m²