Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62813 / 38828
↖ ↑ ↗
← N 58.933004°
W  7.478943°		 ← 157.61 m → N 58.933004°
W  7.476196°		 →
↑
157.62 m
↓
↑
157.62 m
↓
N 58.931587°
W  7.478943°		 ← 157.62 m →
24 843 m²		 N 58.931587°
W  7.476196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479228973388672 y=0.296237945556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479228973388672 × 217)
    floor (0.479228973388672 × 131072)
    floor (62813.5)     		tx = 62813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296237945556641 × 217)
    floor (0.296237945556641 × 131072)
    floor (38828.5)     		ty = 38828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62813 / 38828 ti = "17/62813/38828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62813/38828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62813 ÷ 217
    62813 ÷ 131072     		x = 0.479225158691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38828 ÷ 217
    38828 ÷ 131072     		y = 0.296234130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479225158691406 × 2 - 1) × π
    -0.0415496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13053218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296234130859375 × 2 - 1) × π
    0.40753173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28029871505246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13053218} λ = -0.13053218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28029871505246))-π/2
    2×atan(3.59771425647487)-π/2
    2×1.29968564467829-π/2
    2.59937128935659-1.57079632675     		φ = 1.02857496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13053218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.478943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02857496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.933004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62813 KachelY 38828 -0.13053218 1.02857496 -7.478943 58.933004
    Oben rechts KachelX + 1 62814 KachelY 38828 -0.13048424 1.02857496 -7.476196 58.933004
    Unten links KachelX 62813 KachelY + 1 38829 -0.13053218 1.02855022 -7.478943 58.931587
    Unten rechts KachelX + 1 62814 KachelY + 1 38829 -0.13048424 1.02855022 -7.476196 58.931587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02857496-1.02855022) × R
    2.47399999999676e-05 × 6371000     		dl = 157.618539999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02857496-1.02855022) × R
    2.47399999999676e-05 × 6371000     		dr = 157.618539999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13053218--0.13048424) × cos(1.02857496) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.516040007176756 × 6371000     		do = 157.611901061554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13053218--0.13048424) × cos(1.02855022) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.516061198424101 × 6371000     		du = 157.618373413956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02857496)-sin(1.02855022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516040007176756-0.516061198424101)×R²
    abs(-0.13048424--0.13053218)×2.11912473448983e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11912473448983e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11912473448983e-05×40589641000000     		ar = 24843.0678144965m²