Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62813 / 31259
↖ ↑ ↗
← N 68.111222°
W  7.478943°		 ← 113.86 m → N 68.111222°
W  7.476196°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
N 68.110198°
W  7.478943°		 ← 113.87 m →
12 964 m²		 N 68.110198°
W  7.476196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479228973388672 y=0.238491058349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479228973388672 × 217)
    floor (0.479228973388672 × 131072)
    floor (62813.5)     		tx = 62813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238491058349609 × 217)
    floor (0.238491058349609 × 131072)
    floor (31259.5)     		ty = 31259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62813 / 31259 ti = "17/62813/31259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62813/31259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62813 ÷ 217
    62813 ÷ 131072     		x = 0.479225158691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31259 ÷ 217
    31259 ÷ 131072     		y = 0.238487243652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479225158691406 × 2 - 1) × π
    -0.0415496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13053218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238487243652344 × 2 - 1) × π
    0.523025512695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.64313310827666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13053218} λ = -0.13053218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64313310827666))-π/2
    2×atan(5.17134654546612)-π/2
    2×1.37978070237475-π/2
    2.75956140474951-1.57079632675     		φ = 1.18876508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13053218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.478943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18876508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.111222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62813 KachelY 31259 -0.13053218 1.18876508 -7.478943 68.111222
    Oben rechts KachelX + 1 62814 KachelY 31259 -0.13048424 1.18876508 -7.476196 68.111222
    Unten links KachelX 62813 KachelY + 1 31260 -0.13053218 1.18874721 -7.478943 68.110198
    Unten rechts KachelX + 1 62814 KachelY + 1 31260 -0.13048424 1.18874721 -7.476196 68.110198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18876508-1.18874721) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18876508-1.18874721) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13053218--0.13048424) × cos(1.18876508) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.372806049978461 × 6371000     		do = 113.86456369114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13053218--0.13048424) × cos(1.18874721) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.372822631657934 × 6371000     		du = 113.869628162863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18876508)-sin(1.18874721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372806049978461-0.372822631657934)×R²
    abs(-0.13048424--0.13053218)×1.65816794728824e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.65816794728824e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.65816794728824e-05×40589641000000     		ar = 12963.7426822721m²