Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62812 / 38826
↖ ↑ ↗
← N 58.935839°
W  7.481689°		 ← 157.57 m → N 58.935839°
W  7.478943°		 →
↑
157.62 m
↓
↑
157.62 m
↓
N 58.934422°
W  7.481689°		 ← 157.57 m →
24 836 m²		 N 58.934422°
W  7.478943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479221343994141 y=0.296222686767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479221343994141 × 217)
    floor (0.479221343994141 × 131072)
    floor (62812.5)     		tx = 62812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296222686767578 × 217)
    floor (0.296222686767578 × 131072)
    floor (38826.5)     		ty = 38826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62812 / 38826 ti = "17/62812/38826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62812/38826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62812 ÷ 217
    62812 ÷ 131072     		x = 0.479217529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38826 ÷ 217
    38826 ÷ 131072     		y = 0.296218872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479217529296875 × 2 - 1) × π
    -0.04156494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13058011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296218872070312 × 2 - 1) × π
    0.407562255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2803945888517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13058011} λ = -0.13058011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2803945888517))-π/2
    2×atan(3.59805919954446)-π/2
    2×1.29971038102049-π/2
    2.59942076204098-1.57079632675     		φ = 1.02862444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13058011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.481689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02862444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.935839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62812 KachelY 38826 -0.13058011 1.02862444 -7.481689 58.935839
    Oben rechts KachelX + 1 62813 KachelY 38826 -0.13053218 1.02862444 -7.478943 58.935839
    Unten links KachelX 62812 KachelY + 1 38827 -0.13058011 1.02859970 -7.481689 58.934422
    Unten rechts KachelX + 1 62813 KachelY + 1 38827 -0.13053218 1.02859970 -7.478943 58.934422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02862444-1.02859970) × R
    2.47399999999676e-05 × 6371000     		dl = 157.618539999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02862444-1.02859970) × R
    2.47399999999676e-05 × 6371000     		dr = 157.618539999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13058011--0.13053218) × cos(1.02862444) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.515997623734525 × 6371000     		do = 157.566081858756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13058011--0.13053218) × cos(1.02859970) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.51601881561356 × 6371000     		du = 157.572553053958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02862444)-sin(1.02859970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515997623734525-0.51601881561356)×R²
    abs(-0.13053218--0.13058011)×2.11918790345988e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.11918790345988e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.11918790345988e-05×40589641000000     		ar = 24835.8457673976m²