Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62811 / 38788
↖ ↑ ↗
← N 58.989651°
W  7.484436°		 ← 157.35 m → N 58.989651°
W  7.481689°		 →
↑
157.30 m
↓
↑
157.30 m
↓
N 58.988237°
W  7.484436°		 ← 157.36 m →
24 752 m²		 N 58.988237°
W  7.481689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479213714599609 y=0.295932769775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479213714599609 × 217)
    floor (0.479213714599609 × 131072)
    floor (62811.5)     		tx = 62811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295932769775391 × 217)
    floor (0.295932769775391 × 131072)
    floor (38788.5)     		ty = 38788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62811 / 38788 ti = "17/62811/38788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62811/38788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62811 ÷ 217
    62811 ÷ 131072     		x = 0.479209899902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38788 ÷ 217
    38788 ÷ 131072     		y = 0.295928955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479209899902344 × 2 - 1) × π
    -0.0415802001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13062805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295928955078125 × 2 - 1) × π
    0.40814208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28221619103726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13062805} λ = -0.13062805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28221619103726))-π/2
    2×atan(3.60461940527465)-π/2
    2×1.30017998568174-π/2
    2.60035997136347-1.57079632675     		φ = 1.02956364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13062805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.484436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02956364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.989651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62811 KachelY 38788 -0.13062805 1.02956364 -7.484436 58.989651
    Oben rechts KachelX + 1 62812 KachelY 38788 -0.13058011 1.02956364 -7.481689 58.989651
    Unten links KachelX 62811 KachelY + 1 38789 -0.13062805 1.02953895 -7.484436 58.988237
    Unten rechts KachelX + 1 62812 KachelY + 1 38789 -0.13058011 1.02953895 -7.481689 58.988237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02956364-1.02953895) × R
    2.46899999998274e-05 × 6371000     		dl = 157.2999899989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02956364-1.02953895) × R
    2.46899999998274e-05 × 6371000     		dr = 157.2999899989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13062805--0.13058011) × cos(1.02956364) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.515192886931666 × 6371000     		do = 157.353168733828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13062805--0.13058011) × cos(1.02953895) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.515214047938143 × 6371000     		du = 157.359631849891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02956364)-sin(1.02953895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515192886931666-0.515214047938143)×R²
    abs(-0.13058011--0.13062805)×2.11610064775325e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11610064775325e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11610064775325e-05×40589641000000     		ar = 24752.1601932667m²