Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6281 / 7257
↖ ↑ ↗
← N 20.117840°
W 41.989746°		 ← 2 294.15 m → N 20.117840°
W 41.967774°		 →
↑
2 294.32 m
↓
↑
2 294.32 m
↓
N 20.097206°
W 41.989746°		 ← 2 294.45 m →
5 263 866 m²		 N 20.097206°
W 41.967774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383392333984375 y=0.442962646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383392333984375 × 214)
    floor (0.383392333984375 × 16384)
    floor (6281.5)     		tx = 6281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442962646484375 × 214)
    floor (0.442962646484375 × 16384)
    floor (7257.5)     		ty = 7257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6281 / 7257 ti = "14/6281/7257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6281/7257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6281 ÷ 214
    6281 ÷ 16384     		x = 0.38336181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7257 ÷ 214
    7257 ÷ 16384     		y = 0.44293212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38336181640625 × 2 - 1) × π
    -0.2332763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73285932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44293212890625 × 2 - 1) × π
    0.1141357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.35856800915802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73285932} λ = -0.73285932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35856800915802))-π/2
    2×atan(1.43127836885497)-π/2
    2×0.960959433362776-π/2
    1.92191886672555-1.57079632675     		φ = 0.35112254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73285932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.989746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35112254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.117840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6281 KachelY 7257 -0.73285932 0.35112254 -41.989746 20.117840
    Oben rechts KachelX + 1 6282 KachelY 7257 -0.73247583 0.35112254 -41.967774 20.117840
    Unten links KachelX 6281 KachelY + 1 7258 -0.73285932 0.35076242 -41.989746 20.097206
    Unten rechts KachelX + 1 6282 KachelY + 1 7258 -0.73247583 0.35076242 -41.967774 20.097206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35112254-0.35076242) × R
    0.000360119999999964 × 6371000     		dl = 2294.32451999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35112254-0.35076242) × R
    0.000360119999999964 × 6371000     		dr = 2294.32451999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73285932--0.73247583) × cos(0.35112254) × R
    0.000383489999999931 × 0.938987204573575 × 6371000     		do = 2294.1474258345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73285932--0.73247583) × cos(0.35076242) × R
    0.000383489999999931 × 0.939111007705075 × 6371000     		du = 2294.44990347643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35112254)-sin(0.35076242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938987204573575-0.939111007705075)×R²
    abs(-0.73247583--0.73285932)×0.000123803131499844×R²
    0.000383489999999931×0.000123803131499844×6371000²
    0.000383489999999931×0.000123803131499844×40589641000000     		ar = 5263865.73940915m²