Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6281 / 6169
↖ ↑ ↗
← S 66.947274°
E 96.020508°		 ← 1 913.44 m → S 66.947274°
E 96.064453°		 →
↑
1 912.77 m
↓
↑
1 912.77 m
↓
S 66.964476°
E 96.020508°		 ← 1 912.09 m →
3 658 677 m²		 S 66.964476°
E 96.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76678466796875 y=0.75311279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76678466796875 × 213)
    floor (0.76678466796875 × 8192)
    floor (6281.5)     		tx = 6281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75311279296875 × 213)
    floor (0.75311279296875 × 8192)
    floor (6169.5)     		ty = 6169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6281 / 6169 ti = "13/6281/6169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6281/6169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6281 ÷ 213
    6281 ÷ 8192     		x = 0.7667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6169 ÷ 213
    6169 ÷ 8192     		y = 0.7530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7667236328125 × 2 - 1) × π
    0.533447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67587401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.506103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58997108659802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67587401} λ = 1.67587401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58997108659802))-π/2
    2×atan(0.203931508002639)-π/2
    2×0.201172982071061-π/2
    0.402345964142121-1.57079632675     		φ = -1.16845036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67587401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16845036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.947274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6281 KachelY 6169 1.67587401 -1.16845036 96.020508 -66.947274
    Oben rechts KachelX + 1 6282 KachelY 6169 1.67664100 -1.16845036 96.064453 -66.947274
    Unten links KachelX 6281 KachelY + 1 6170 1.67587401 -1.16875059 96.020508 -66.964476
    Unten rechts KachelX + 1 6282 KachelY + 1 6170 1.67664100 -1.16875059 96.064453 -66.964476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16845036--1.16875059) × R
    0.000300229999999901 × 6371000     		dl = 1912.76532999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16845036--1.16875059) × R
    0.000300229999999901 × 6371000     		dr = 1912.76532999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67587401-1.67664100) × cos(-1.16845036) × R
    0.000766990000000023 × 0.391578047241506 × 6371000     		do = 1913.44350035698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67587401-1.67664100) × cos(-1.16875059) × R
    0.000766990000000023 × 0.391301774494954 × 6371000     		du = 1912.09349543474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16845036)-sin(-1.16875059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391578047241506-0.391301774494954)×R²
    abs(1.67664100-1.67587401)×0.00027627274655273×R²
    0.000766990000000023×0.00027627274655273×6371000²
    0.000766990000000023×0.00027627274655273×40589641000000     		ar = 3658677.29457144m²