Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62803 / 39471
↖ ↑ ↗
← N 58.009553°
W  7.506409°		 ← 161.81 m → N 58.009553°
W  7.503662°		 →
↑
161.82 m
↓
↑
161.82 m
↓
N 58.008098°
W  7.506409°		 ← 161.81 m →
26 185 m²		 N 58.008098°
W  7.503662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479152679443359 y=0.301143646240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479152679443359 × 217)
    floor (0.479152679443359 × 131072)
    floor (62803.5)     		tx = 62803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301143646240234 × 217)
    floor (0.301143646240234 × 131072)
    floor (39471.5)     		ty = 39471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62803 / 39471 ti = "17/62803/39471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62803/39471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62803 ÷ 217
    62803 ÷ 131072     		x = 0.479148864746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39471 ÷ 217
    39471 ÷ 131072     		y = 0.301139831542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479148864746094 × 2 - 1) × π
    -0.0417022705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13101155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301139831542969 × 2 - 1) × π
    0.397720336914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.24947528859676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13101155} λ = -0.13101155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24947528859676))-π/2
    2×atan(3.48851201511103)-π/2
    2×1.29162701125418-π/2
    2.58325402250835-1.57079632675     		φ = 1.01245770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13101155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.506409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01245770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.009553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62803 KachelY 39471 -0.13101155 1.01245770 -7.506409 58.009553
    Oben rechts KachelX + 1 62804 KachelY 39471 -0.13096361 1.01245770 -7.503662 58.009553
    Unten links KachelX 62803 KachelY + 1 39472 -0.13101155 1.01243230 -7.506409 58.008098
    Unten rechts KachelX + 1 62804 KachelY + 1 39472 -0.13096361 1.01243230 -7.503662 58.008098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01245770-1.01243230) × R
    2.53999999999532e-05 × 6371000     		dl = 161.823399999702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01245770-1.01243230) × R
    2.53999999999532e-05 × 6371000     		dr = 161.823399999702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13101155--0.13096361) × cos(1.01245770) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52977785854957 × 6371000     		do = 161.807794483105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13101155--0.13096361) × cos(1.01243230) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529799401044244 × 6371000     		du = 161.814374115483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01245770)-sin(1.01243230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52977785854957-0.529799401044244)×R²
    abs(-0.13096361--0.13101155)×2.15424946738985e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15424946738985e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15424946738985e-05×40589641000000     		ar = 26184.8198203994m²