Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62802 / 29392
↖ ↑ ↗
← N 69.945375°
W  7.509155°		 ← 104.71 m → N 69.945375°
W  7.506409°		 →
↑
104.74 m
↓
↑
104.74 m
↓
N 69.944433°
W  7.509155°		 ← 104.72 m →
10 968 m²		 N 69.944433°
W  7.506409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479145050048828 y=0.224246978759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479145050048828 × 217)
    floor (0.479145050048828 × 131072)
    floor (62802.5)     		tx = 62802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224246978759766 × 217)
    floor (0.224246978759766 × 131072)
    floor (29392.5)     		ty = 29392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62802 / 29392 ti = "17/62802/29392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62802/29392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62802 ÷ 217
    62802 ÷ 131072     		x = 0.479141235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29392 ÷ 217
    29392 ÷ 131072     		y = 0.2242431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479141235351562 × 2 - 1) × π
    -0.041717529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13105948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2242431640625 × 2 - 1) × π
    0.551513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.73263129986731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13105948} λ = -0.13105948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73263129986731))-π/2
    2×atan(5.6555157046554)-π/2
    2×1.39578670985527-π/2
    2.79157341971053-1.57079632675     		φ = 1.22077709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13105948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.509155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22077709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.945375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62802 KachelY 29392 -0.13105948 1.22077709 -7.509155 69.945375
    Oben rechts KachelX + 1 62803 KachelY 29392 -0.13101155 1.22077709 -7.506409 69.945375
    Unten links KachelX 62802 KachelY + 1 29393 -0.13105948 1.22076065 -7.509155 69.944433
    Unten rechts KachelX + 1 62803 KachelY + 1 29393 -0.13101155 1.22076065 -7.506409 69.944433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22077709-1.22076065) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dl = 104.739240000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22077709-1.22076065) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dr = 104.739240000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13105948--0.13101155) × cos(1.22077709) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.342915877912213 × 6371000     		do = 104.713488598509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13105948--0.13101155) × cos(1.22076065) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.342931321044826 × 6371000     		du = 104.718204344833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22077709)-sin(1.22076065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342915877912213-0.342931321044826)×R²
    abs(-0.13101155--0.13105948)×1.54431326127025e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.54431326127025e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.54431326127025e-05×40589641000000     		ar = 10967.8581756274m²