Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62800 / 29104
↖ ↑ ↗
← N 70.214875°
W  7.514649°		 ← 103.38 m → N 70.214875°
W  7.511902°		 →
↑
103.40 m
↓
↑
103.40 m
↓
N 70.213945°
W  7.514649°		 ← 103.39 m →
10 690 m²		 N 70.213945°
W  7.511902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479129791259766 y=0.222049713134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479129791259766 × 217)
    floor (0.479129791259766 × 131072)
    floor (62800.5)     		tx = 62800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222049713134766 × 217)
    floor (0.222049713134766 × 131072)
    floor (29104.5)     		ty = 29104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62800 / 29104 ti = "17/62800/29104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62800/29104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62800 ÷ 217
    62800 ÷ 131072     		x = 0.4791259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29104 ÷ 217
    29104 ÷ 131072     		y = 0.2220458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4791259765625 × 2 - 1) × π
    -0.041748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13115536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2220458984375 × 2 - 1) × π
    0.555908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74643712695789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13115536} λ = -0.13115536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74643712695789))-π/2
    2×atan(5.7341362385726)-π/2
    2×1.3981385366767-π/2
    2.7962770733534-1.57079632675     		φ = 1.22548075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13115536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.514649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22548075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.214875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62800 KachelY 29104 -0.13115536 1.22548075 -7.514649 70.214875
    Oben rechts KachelX + 1 62801 KachelY 29104 -0.13110742 1.22548075 -7.511902 70.214875
    Unten links KachelX 62800 KachelY + 1 29105 -0.13115536 1.22546452 -7.514649 70.213945
    Unten rechts KachelX + 1 62801 KachelY + 1 29105 -0.13110742 1.22546452 -7.511902 70.213945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22548075-1.22546452) × R
    1.62299999999505e-05 × 6371000     		dl = 103.401329999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22548075-1.22546452) × R
    1.62299999999505e-05 × 6371000     		dr = 103.401329999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13115536--0.13110742) × cos(1.22548075) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.338493641977666 × 6371000     		do = 103.384671086316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13115536--0.13110742) × cos(1.22546452) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.338508913854739 × 6371000     		du = 103.389335510672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22548075)-sin(1.22546452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338493641977666-0.338508913854739)×R²
    abs(-0.13110742--0.13115536)×1.52718770731752e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.52718770731752e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.52718770731752e-05×40589641000000     		ar = 10690.3536461694m²