Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6280 / 7272
↖ ↑ ↗
← N 19.808054°
W 42.011719°		 ← 2 298.72 m → N 19.808054°
W 41.989746°		 →
↑
2 298.85 m
↓
↑
2 298.85 m
↓
N 19.787380°
W 42.011719°		 ← 2 299.02 m →
5 284 745 m²		 N 19.787380°
W 41.989746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383331298828125 y=0.443878173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383331298828125 × 214)
    floor (0.383331298828125 × 16384)
    floor (6280.5)     		tx = 6280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443878173828125 × 214)
    floor (0.443878173828125 × 16384)
    floor (7272.5)     		ty = 7272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6280 / 7272 ti = "14/6280/7272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6280/7272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6280 ÷ 214
    6280 ÷ 16384     		x = 0.38330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7272 ÷ 214
    7272 ÷ 16384     		y = 0.44384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73324282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44384765625 × 2 - 1) × π
    0.1123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.352815581203613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73324282} λ = -0.73324282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352815581203613))-π/2
    2×atan(1.42306867861974)-π/2
    2×0.958256044866905-π/2
    1.91651208973381-1.57079632675     		φ = 0.34571576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73324282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34571576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.808054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6280 KachelY 7272 -0.73324282 0.34571576 -42.011719 19.808054
    Oben rechts KachelX + 1 6281 KachelY 7272 -0.73285932 0.34571576 -41.989746 19.808054
    Unten links KachelX 6280 KachelY + 1 7273 -0.73324282 0.34535493 -42.011719 19.787380
    Unten rechts KachelX + 1 6281 KachelY + 1 7273 -0.73285932 0.34535493 -41.989746 19.787380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34571576-0.34535493) × R
    0.000360829999999979 × 6371000     		dl = 2298.84792999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34571576-0.34535493) × R
    0.000360829999999979 × 6371000     		dr = 2298.84792999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73324282--0.73285932) × cos(0.34571576) × R
    0.000383499999999981 × 0.940833143911184 × 6371000     		do = 2298.71739260549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73324282--0.73285932) × cos(0.34535493) × R
    0.000383499999999981 × 0.940955357186245 × 6371000     		du = 2299.01599367286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34571576)-sin(0.34535493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940833143911184-0.940955357186245)×R²
    abs(-0.73285932--0.73324282)×0.000122213275060679×R²
    0.000383499999999981×0.000122213275060679×6371000²
    0.000383499999999981×0.000122213275060679×40589641000000     		ar = 5284744.99620704m²