Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62797 / 29388
↖ ↑ ↗
← N 69.949142°
W  7.522888°		 ← 104.72 m → N 69.949142°
W  7.520142°		 →
↑
104.74 m
↓
↑
104.74 m
↓
N 69.948200°
W  7.522888°		 ← 104.72 m →
10 968 m²		 N 69.948200°
W  7.520142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479106903076172 y=0.224216461181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479106903076172 × 217)
    floor (0.479106903076172 × 131072)
    floor (62797.5)     		tx = 62797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224216461181641 × 217)
    floor (0.224216461181641 × 131072)
    floor (29388.5)     		ty = 29388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62797 / 29388 ti = "17/62797/29388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62797/29388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62797 ÷ 217
    62797 ÷ 131072     		x = 0.479103088378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29388 ÷ 217
    29388 ÷ 131072     		y = 0.224212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479103088378906 × 2 - 1) × π
    -0.0417938232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13129917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224212646484375 × 2 - 1) × π
    0.55157470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73282304746579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13129917} λ = -0.13129917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73282304746579))-π/2
    2×atan(5.65660024018515)-π/2
    2×1.3958195835423-π/2
    2.79163916708461-1.57079632675     		φ = 1.22084284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13129917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.522888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22084284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.949142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62797 KachelY 29388 -0.13129917 1.22084284 -7.522888 69.949142
    Oben rechts KachelX + 1 62798 KachelY 29388 -0.13125123 1.22084284 -7.520142 69.949142
    Unten links KachelX 62797 KachelY + 1 29389 -0.13129917 1.22082640 -7.522888 69.948200
    Unten rechts KachelX + 1 62798 KachelY + 1 29389 -0.13125123 1.22082640 -7.520142 69.948200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22084284-1.22082640) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dl = 104.739240000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22084284-1.22082640) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dr = 104.739240000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13129917--0.13125123) × cos(1.22084284) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.34285411384888 × 6371000     		do = 104.71647143433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13129917--0.13125123) × cos(1.22082640) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.342869557352136 × 6371000     		du = 104.72118827774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22084284)-sin(1.22082640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34285411384888-0.342869557352136)×R²
    abs(-0.13125123--0.13129917)×1.54435032556632e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.54435032556632e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.54435032556632e-05×40589641000000     		ar = 10968.1706529305m²