Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62796 / 76655
↖ ↑ ↗
← S 29.188135°
W  7.525634°		 ← 266.59 m → S 29.188135°
W  7.522888°		 →
↑
266.63 m
↓
↑
266.63 m
↓
S 29.190533°
W  7.525634°		 ← 266.58 m →
71 079 m²		 S 29.190533°
W  7.522888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479099273681641 y=0.584835052490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479099273681641 × 217)
    floor (0.479099273681641 × 131072)
    floor (62796.5)     		tx = 62796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584835052490234 × 217)
    floor (0.584835052490234 × 131072)
    floor (76655.5)     		ty = 76655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62796 / 76655 ti = "17/62796/76655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62796/76655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62796 ÷ 217
    62796 ÷ 131072     		x = 0.479095458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76655 ÷ 217
    76655 ÷ 131072     		y = 0.584831237792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479095458984375 × 2 - 1) × π
    -0.04180908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13134710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584831237792969 × 2 - 1) × π
    -0.169662475585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.533010386875404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13134710} λ = -0.13134710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533010386875404))-π/2
    2×atan(0.586835705423935)-π/2
    2×0.530683634001998-π/2
    1.061367268004-1.57079632675     		φ = -0.50942906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13134710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.525634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50942906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.188135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62796 KachelY 76655 -0.13134710 -0.50942906 -7.525634 -29.188135
    Oben rechts KachelX + 1 62797 KachelY 76655 -0.13129917 -0.50942906 -7.522888 -29.188135
    Unten links KachelX 62796 KachelY + 1 76656 -0.13134710 -0.50947091 -7.525634 -29.190533
    Unten rechts KachelX + 1 62797 KachelY + 1 76656 -0.13129917 -0.50947091 -7.522888 -29.190533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50942906--0.50947091) × R
    4.18500000000099e-05 × 6371000     		dl = 266.626350000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50942906--0.50947091) × R
    4.18500000000099e-05 × 6371000     		dr = 266.626350000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13134710--0.13129917) × cos(-0.50942906) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.873023085302601 × 6371000     		do = 266.588101564874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13134710--0.13129917) × cos(-0.50947091) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.873002675176854 × 6371000     		du = 266.581869087444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50942906)-sin(-0.50947091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873023085302601-0.873002675176854)×R²
    abs(-0.13129917--0.13134710)×2.04101257468281e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.04101257468281e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.04101257468281e-05×40589641000000     		ar = 71078.5816127085m²