Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62792 / 38825
↖ ↑ ↗
← N 58.937256°
W  7.536621°		 ← 157.56 m → N 58.937256°
W  7.533875°		 →
↑
157.55 m
↓
↑
157.55 m
↓
N 58.935839°
W  7.536621°		 ← 157.57 m →
24 825 m²		 N 58.935839°
W  7.533875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479068756103516 y=0.296215057373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479068756103516 × 217)
    floor (0.479068756103516 × 131072)
    floor (62792.5)     		tx = 62792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296215057373047 × 217)
    floor (0.296215057373047 × 131072)
    floor (38825.5)     		ty = 38825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62792 / 38825 ti = "17/62792/38825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62792/38825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62792 ÷ 217
    62792 ÷ 131072     		x = 0.47906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38825 ÷ 217
    38825 ÷ 131072     		y = 0.296211242675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47906494140625 × 2 - 1) × π
    -0.0418701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13153885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296211242675781 × 2 - 1) × π
    0.407577514648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.28044252575132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13153885} λ = -0.13153885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28044252575132))-π/2
    2×atan(3.59823168348127)-π/2
    2×1.29972274842981-π/2
    2.59944549685963-1.57079632675     		φ = 1.02864917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13153885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.536621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02864917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.937256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62792 KachelY 38825 -0.13153885 1.02864917 -7.536621 58.937256
    Oben rechts KachelX + 1 62793 KachelY 38825 -0.13149092 1.02864917 -7.533875 58.937256
    Unten links KachelX 62792 KachelY + 1 38826 -0.13153885 1.02862444 -7.536621 58.935839
    Unten rechts KachelX + 1 62793 KachelY + 1 38826 -0.13149092 1.02862444 -7.533875 58.935839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02864917-1.02862444) × R
    2.47300000000283e-05 × 6371000     		dl = 157.554830000181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02864917-1.02862444) × R
    2.47300000000283e-05 × 6371000     		dr = 157.554830000181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13153885--0.13149092) × cos(1.02864917) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.515976440105693 × 6371000     		do = 157.559613182853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13153885--0.13149092) × cos(1.02862444) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.515997623734525 × 6371000     		du = 157.566081858756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02864917)-sin(1.02862444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515976440105693-0.515997623734525)×R²
    abs(-0.13149092--0.13153885)×2.11836288322997e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.11836288322997e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.11836288322997e-05×40589641000000     		ar = 24824.7876568296m²