Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62791 / 78999
↖ ↑ ↗
← S 34.649026°
W  7.539368°		 ← 251.26 m → S 34.649026°
W  7.536621°		 →
↑
251.27 m
↓
↑
251.27 m
↓
S 34.651285°
W  7.539368°		 ← 251.25 m →
63 133 m²		 S 34.651285°
W  7.536621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479061126708984 y=0.602718353271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479061126708984 × 217)
    floor (0.479061126708984 × 131072)
    floor (62791.5)     		tx = 62791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602718353271484 × 217)
    floor (0.602718353271484 × 131072)
    floor (78999.5)     		ty = 78999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62791 / 78999 ti = "17/62791/78999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62791/78999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62791 ÷ 217
    62791 ÷ 131072     		x = 0.479057312011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78999 ÷ 217
    78999 ÷ 131072     		y = 0.602714538574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479057312011719 × 2 - 1) × π
    -0.0418853759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13158679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602714538574219 × 2 - 1) × π
    -0.205429077148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.645374479584816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13158679} λ = -0.13158679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.645374479584816))-π/2
    2×atan(0.52446610347908)-π/2
    2×0.483028372401358-π/2
    0.966056744802716-1.57079632675     		φ = -0.60473958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13158679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.539368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60473958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.649026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62791 KachelY 78999 -0.13158679 -0.60473958 -7.539368 -34.649026
    Oben rechts KachelX + 1 62792 KachelY 78999 -0.13153885 -0.60473958 -7.536621 -34.649026
    Unten links KachelX 62791 KachelY + 1 79000 -0.13158679 -0.60477902 -7.539368 -34.651285
    Unten rechts KachelX + 1 62792 KachelY + 1 79000 -0.13153885 -0.60477902 -7.536621 -34.651285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60473958--0.60477902) × R
    3.94399999998907e-05 × 6371000     		dl = 251.272239999303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60473958--0.60477902) × R
    3.94399999998907e-05 × 6371000     		dr = 251.272239999303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13158679--0.13153885) × cos(-0.60473958) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822650186760145 × 6371000     		do = 251.258542052336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13158679--0.13153885) × cos(-0.60477902) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822627762592692 × 6371000     		du = 251.251693134398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60473958)-sin(-0.60477902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822650186760145-0.822627762592692)×R²
    abs(-0.13153885--0.13158679)×2.24241674529058e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24241674529058e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24241674529058e-05×40589641000000     		ar = 63133.436217215m²