Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62787 / 38502
↖ ↑ ↗
← N 59.391975°
W  7.550354°		 ← 155.51 m → N 59.391975°
W  7.547607°		 →
↑
155.52 m
↓
↑
155.52 m
↓
N 59.390577°
W  7.550354°		 ← 155.52 m →
24 185 m²		 N 59.390577°
W  7.547607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479030609130859 y=0.293750762939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479030609130859 × 217)
    floor (0.479030609130859 × 131072)
    floor (62787.5)     		tx = 62787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293750762939453 × 217)
    floor (0.293750762939453 × 131072)
    floor (38502.5)     		ty = 38502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62787 / 38502 ti = "17/62787/38502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62787/38502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62787 ÷ 217
    62787 ÷ 131072     		x = 0.479026794433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38502 ÷ 217
    38502 ÷ 131072     		y = 0.293746948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479026794433594 × 2 - 1) × π
    -0.0419464111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13177854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293746948242188 × 2 - 1) × π
    0.412506103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2959261443286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13177854} λ = -0.13177854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2959261443286))-π/2
    2×atan(3.65437888964866)-π/2
    2×1.30369092380988-π/2
    2.60738184761976-1.57079632675     		φ = 1.03658552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13177854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.550354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03658552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.391975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62787 KachelY 38502 -0.13177854 1.03658552 -7.550354 59.391975
    Oben rechts KachelX + 1 62788 KachelY 38502 -0.13173060 1.03658552 -7.547607 59.391975
    Unten links KachelX 62787 KachelY + 1 38503 -0.13177854 1.03656111 -7.550354 59.390577
    Unten rechts KachelX + 1 62788 KachelY + 1 38503 -0.13173060 1.03656111 -7.547607 59.390577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03658552-1.03656111) × R
    2.44099999999747e-05 × 6371000     		dl = 155.516109999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03658552-1.03656111) × R
    2.44099999999747e-05 × 6371000     		dr = 155.516109999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13177854--0.13173060) × cos(1.03658552) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.509161962571285 × 6371000     		do = 155.511169198175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13177854--0.13173060) × cos(1.03656111) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.509182971391975 × 6371000     		du = 155.517585832781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03658552)-sin(1.03656111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509161962571285-0.509182971391975)×R²
    abs(-0.13173060--0.13177854)×2.10088206893388e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.10088206893388e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.10088206893388e-05×40589641000000     		ar = 24184.9910413887m²