Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62787 / 29369
↖ ↑ ↗
← N 69.967026°
W  7.550354°		 ← 104.63 m → N 69.967026°
W  7.547607°		 →
↑
104.61 m
↓
↑
104.61 m
↓
N 69.966086°
W  7.550354°		 ← 104.63 m →
10 945 m²		 N 69.966086°
W  7.547607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479030609130859 y=0.224071502685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479030609130859 × 217)
    floor (0.479030609130859 × 131072)
    floor (62787.5)     		tx = 62787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224071502685547 × 217)
    floor (0.224071502685547 × 131072)
    floor (29369.5)     		ty = 29369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62787 / 29369 ti = "17/62787/29369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62787/29369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62787 ÷ 217
    62787 ÷ 131072     		x = 0.479026794433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29369 ÷ 217
    29369 ÷ 131072     		y = 0.224067687988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479026794433594 × 2 - 1) × π
    -0.0419464111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13177854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224067687988281 × 2 - 1) × π
    0.551864624023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.73373384855857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13177854} λ = -0.13177854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73373384855857))-π/2
    2×atan(5.66175462481859)-π/2
    2×1.3959756527148-π/2
    2.79195130542961-1.57079632675     		φ = 1.22115498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13177854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.550354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22115498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.967026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62787 KachelY 29369 -0.13177854 1.22115498 -7.550354 69.967026
    Oben rechts KachelX + 1 62788 KachelY 29369 -0.13173060 1.22115498 -7.547607 69.967026
    Unten links KachelX 62787 KachelY + 1 29370 -0.13177854 1.22113856 -7.550354 69.966086
    Unten rechts KachelX + 1 62788 KachelY + 1 29370 -0.13173060 1.22113856 -7.547607 69.966086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22115498-1.22113856) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dl = 104.611819999401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22115498-1.22113856) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dr = 104.611819999401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13177854--0.13173060) × cos(1.22115498) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.342560876374589 × 6371000     		do = 104.626909161749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13177854--0.13173060) × cos(1.22113856) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.342576302846716 × 6371000     		du = 104.631620803414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22115498)-sin(1.22113856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342560876374589-0.342576302846716)×R²
    abs(-0.13173060--0.13177854)×1.54264721266006e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.54264721266006e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.54264721266006e-05×40589641000000     		ar = 10945.4578351904m²