Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62786 / 29370
↖ ↑ ↗
← N 69.966086°
W  7.553100°		 ← 104.61 m → N 69.966086°
W  7.550354°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
N 69.965144°
W  7.553100°		 ← 104.61 m →
10 950 m²		 N 69.965144°
W  7.550354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479022979736328 y=0.224079132080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479022979736328 × 217)
    floor (0.479022979736328 × 131072)
    floor (62786.5)     		tx = 62786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224079132080078 × 217)
    floor (0.224079132080078 × 131072)
    floor (29370.5)     		ty = 29370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62786 / 29370 ti = "17/62786/29370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62786/29370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62786 ÷ 217
    62786 ÷ 131072     		x = 0.479019165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29370 ÷ 217
    29370 ÷ 131072     		y = 0.224075317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479019165039062 × 2 - 1) × π
    -0.041961669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13182647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224075317382812 × 2 - 1) × π
    0.551849365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73368591165895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13182647} λ = -0.13182647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73368591165895))-π/2
    2×atan(5.66148322436057)-π/2
    2×1.39596744187671-π/2
    2.79193488375342-1.57079632675     		φ = 1.22113856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13182647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.553100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22113856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.966086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62786 KachelY 29370 -0.13182647 1.22113856 -7.553100 69.966086
    Oben rechts KachelX + 1 62787 KachelY 29370 -0.13177854 1.22113856 -7.550354 69.966086
    Unten links KachelX 62786 KachelY + 1 29371 -0.13182647 1.22112213 -7.553100 69.965144
    Unten rechts KachelX + 1 62787 KachelY + 1 29371 -0.13177854 1.22112213 -7.550354 69.965144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22113856-1.22112213) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dl = 104.675530000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22113856-1.22112213) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dr = 104.675530000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13182647--0.13177854) × cos(1.22113856) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.342576302846716 × 6371000     		do = 104.609795267171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13182647--0.13177854) × cos(1.22112213) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.342591738621322 × 6371000     		du = 104.61450876664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22113856)-sin(1.22112213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342576302846716-0.342591738621322)×R²
    abs(-0.13177854--0.13182647)×1.54357746064426e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.54357746064426e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.54357746064426e-05×40589641000000     		ar = 10950.332457145m²