Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62783 / 38863
↖ ↑ ↗
← N 58.883361°
W  7.561340°		 ← 157.81 m → N 58.883361°
W  7.558594°		 →
↑
157.81 m
↓
↑
157.81 m
↓
N 58.881942°
W  7.561340°		 ← 157.81 m →
24 904 m²		 N 58.881942°
W  7.558594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479000091552734 y=0.296504974365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479000091552734 × 217)
    floor (0.479000091552734 × 131072)
    floor (62783.5)     		tx = 62783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296504974365234 × 217)
    floor (0.296504974365234 × 131072)
    floor (38863.5)     		ty = 38863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62783 / 38863 ti = "17/62783/38863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62783/38863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62783 ÷ 217
    62783 ÷ 131072     		x = 0.478996276855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38863 ÷ 217
    38863 ÷ 131072     		y = 0.296501159667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478996276855469 × 2 - 1) × π
    -0.0420074462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13197028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296501159667969 × 2 - 1) × π
    0.406997680664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.27862092356576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13197028} λ = -0.13197028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27862092356576))-π/2
    2×atan(3.59168310304751)-π/2
    2×1.29925242974891-π/2
    2.59850485949781-1.57079632675     		φ = 1.02770853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13197028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.561340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02770853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.883361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62783 KachelY 38863 -0.13197028 1.02770853 -7.561340 58.883361
    Oben rechts KachelX + 1 62784 KachelY 38863 -0.13192235 1.02770853 -7.558594 58.883361
    Unten links KachelX 62783 KachelY + 1 38864 -0.13197028 1.02768376 -7.561340 58.881942
    Unten rechts KachelX + 1 62784 KachelY + 1 38864 -0.13192235 1.02768376 -7.558594 58.881942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02770853-1.02768376) × R
    2.47700000000073e-05 × 6371000     		dl = 157.809670000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02770853-1.02768376) × R
    2.47700000000073e-05 × 6371000     		dr = 157.809670000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13197028--0.13192235) × cos(1.02770853) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.516781966551771 × 6371000     		do = 157.805590373646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13197028--0.13192235) × cos(1.02768376) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.516803172412499 × 6371000     		du = 157.812065838326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02770853)-sin(1.02768376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516781966551771-0.516803172412499)×R²
    abs(-0.13192235--0.13197028)×2.12058607282906e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.12058607282906e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.12058607282906e-05×40589641000000     		ar = 24903.7590878662m²