Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6278 / 6323
↖ ↑ ↗
← S 69.457554°
E 95.888672°		 ← 1 714.68 m → S 69.457554°
E 95.932617°		 →
↑
1 714.05 m
↓
↑
1 714.05 m
↓
S 69.472968°
E 95.888672°		 ← 1 713.45 m →
2 937 993 m²		 S 69.472968°
E 95.932617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76641845703125 y=0.77191162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76641845703125 × 213)
    floor (0.76641845703125 × 8192)
    floor (6278.5)     		tx = 6278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77191162109375 × 213)
    floor (0.77191162109375 × 8192)
    floor (6323.5)     		ty = 6323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6278 / 6323 ti = "13/6278/6323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6278/6323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6278 ÷ 213
    6278 ÷ 8192     		x = 0.766357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6323 ÷ 213
    6323 ÷ 8192     		y = 0.7718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766357421875 × 2 - 1) × π
    0.53271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67357304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.543701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70808760726184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67357304} λ = 1.67357304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70808760726184))-π/2
    2×atan(0.181212009991784)-π/2
    2×0.179266662924463-π/2
    0.358533325848926-1.57079632675     		φ = -1.21226300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67357304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21226300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.457554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6278 KachelY 6323 1.67357304 -1.21226300 95.888672 -69.457554
    Oben rechts KachelX + 1 6279 KachelY 6323 1.67434003 -1.21226300 95.932617 -69.457554
    Unten links KachelX 6278 KachelY + 1 6324 1.67357304 -1.21253204 95.888672 -69.472968
    Unten rechts KachelX + 1 6279 KachelY + 1 6324 1.67434003 -1.21253204 95.932617 -69.472968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21226300--1.21253204) × R
    0.000269039999999832 × 6371000     		dl = 1714.05383999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21226300--1.21253204) × R
    0.000269039999999832 × 6371000     		dr = 1714.05383999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67357304-1.67434003) × cos(-1.21226300) × R
    0.000766990000000023 × 0.350901200079368 × 6371000     		do = 1714.67635964083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67357304-1.67434003) × cos(-1.21253204) × R
    0.000766990000000023 × 0.350649254967064 × 6371000     		du = 1713.44523154011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21226300)-sin(-1.21253204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350901200079368-0.350649254967064)×R²
    abs(1.67434003-1.67357304)×0.000251945112303364×R²
    0.000766990000000023×0.000251945112303364×6371000²
    0.000766990000000023×0.000251945112303364×40589641000000     		ar = 2937992.50639403m²