Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62776 / 76952
↖ ↑ ↗
← S 29.897806°
W  7.580566°		 ← 264.72 m → S 29.897806°
W  7.577820°		 →
↑
264.72 m
↓
↑
264.72 m
↓
S 29.900186°
W  7.580566°		 ← 264.72 m →
70 075 m²		 S 29.900186°
W  7.577820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478946685791016 y=0.587100982666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478946685791016 × 217)
    floor (0.478946685791016 × 131072)
    floor (62776.5)     		tx = 62776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587100982666016 × 217)
    floor (0.587100982666016 × 131072)
    floor (76952.5)     		ty = 76952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62776 / 76952 ti = "17/62776/76952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62776/76952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62776 ÷ 217
    62776 ÷ 131072     		x = 0.47894287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76952 ÷ 217
    76952 ÷ 131072     		y = 0.58709716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47894287109375 × 2 - 1) × π
    -0.0421142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13230584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58709716796875 × 2 - 1) × π
    -0.1741943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.547247646062561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13230584} λ = -0.13230584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547247646062561))-π/2
    2×atan(0.578539967796959)-π/2
    2×0.524490589895002-π/2
    1.04898117979-1.57079632675     		φ = -0.52181515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13230584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.580566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52181515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.897806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62776 KachelY 76952 -0.13230584 -0.52181515 -7.580566 -29.897806
    Oben rechts KachelX + 1 62777 KachelY 76952 -0.13225791 -0.52181515 -7.577820 -29.897806
    Unten links KachelX 62776 KachelY + 1 76953 -0.13230584 -0.52185670 -7.580566 -29.900186
    Unten rechts KachelX + 1 62777 KachelY + 1 76953 -0.13225791 -0.52185670 -7.577820 -29.900186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52181515--0.52185670) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dl = 264.715049999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52181515--0.52185670) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dr = 264.715049999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13230584--0.13225791) × cos(-0.52181515) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.866915838559009 × 6371000     		do = 264.72318030154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13230584--0.13225791) × cos(-0.52185670) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.866895127024538 × 6371000     		du = 264.716855785329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52181515)-sin(-0.52185670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866915838559009-0.866895127024538)×R²
    abs(-0.13225791--0.13230584)×2.07115344709186e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.07115344709186e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.07115344709186e-05×40589641000000     		ar = 70075.3728224028m²