Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62772 / 76911
↖ ↑ ↗
← S 29.800135°
W  7.591553°		 ← 265.04 m → S 29.800135°
W  7.588806°		 →
↑
264.97 m
↓
↑
264.97 m
↓
S 29.802518°
W  7.591553°		 ← 265.03 m →
70 226 m²		 S 29.802518°
W  7.588806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478916168212891 y=0.586788177490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478916168212891 × 217)
    floor (0.478916168212891 × 131072)
    floor (62772.5)     		tx = 62772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586788177490234 × 217)
    floor (0.586788177490234 × 131072)
    floor (76911.5)     		ty = 76911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62772 / 76911 ti = "17/62772/76911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62772/76911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62772 ÷ 217
    62772 ÷ 131072     		x = 0.478912353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76911 ÷ 217
    76911 ÷ 131072     		y = 0.586784362792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478912353515625 × 2 - 1) × π
    -0.04217529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13249759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586784362792969 × 2 - 1) × π
    -0.173568725585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.545282233178139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13249759} λ = -0.13249759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.545282233178139))-π/2
    2×atan(0.579678155842157)-π/2
    2×0.525342930701121-π/2
    1.05068586140224-1.57079632675     		φ = -0.52011047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13249759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.591553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52011047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.800135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62772 KachelY 76911 -0.13249759 -0.52011047 -7.591553 -29.800135
    Oben rechts KachelX + 1 62773 KachelY 76911 -0.13244965 -0.52011047 -7.588806 -29.800135
    Unten links KachelX 62772 KachelY + 1 76912 -0.13249759 -0.52015206 -7.591553 -29.802518
    Unten rechts KachelX + 1 62773 KachelY + 1 76912 -0.13244965 -0.52015206 -7.588806 -29.802518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52011047--0.52015206) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dl = 264.969890000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52011047--0.52015206) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dr = 264.969890000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13249759--0.13244965) × cos(-0.52011047) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.867764284033666 × 6371000     		do = 265.037548596532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13249759--0.13244965) × cos(-0.52015206) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.867743614051217 × 6371000     		du = 265.031235451847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52011047)-sin(-0.52015206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867764284033666-0.867743614051217)×R²
    abs(-0.13244965--0.13249759)×2.06699824484291e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.06699824484291e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.06699824484291e-05×40589641000000     		ar = 70226.1337110641m²