Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62771 / 39029
↖ ↑ ↗
← N 58.646940°
W  7.594299°		 ← 158.92 m → N 58.646940°
W  7.591553°		 →
↑
158.89 m
↓
↑
158.89 m
↓
N 58.645511°
W  7.594299°		 ← 158.92 m →
25 251 m²		 N 58.645511°
W  7.591553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478908538818359 y=0.297771453857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478908538818359 × 217)
    floor (0.478908538818359 × 131072)
    floor (62771.5)     		tx = 62771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297771453857422 × 217)
    floor (0.297771453857422 × 131072)
    floor (39029.5)     		ty = 39029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62771 / 39029 ti = "17/62771/39029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62771/39029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62771 ÷ 217
    62771 ÷ 131072     		x = 0.478904724121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39029 ÷ 217
    39029 ÷ 131072     		y = 0.297767639160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478904724121094 × 2 - 1) × π
    -0.0421905517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13254553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297767639160156 × 2 - 1) × π
    0.404464721679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.27066339822883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13254553} λ = -0.13254553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27066339822883))-π/2
    2×atan(3.56321560937244)-π/2
    2×1.29718926302926-π/2
    2.59437852605853-1.57079632675     		φ = 1.02358220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13254553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.594299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02358220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.646940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62771 KachelY 39029 -0.13254553 1.02358220 -7.594299 58.646940
    Oben rechts KachelX + 1 62772 KachelY 39029 -0.13249759 1.02358220 -7.591553 58.646940
    Unten links KachelX 62771 KachelY + 1 39030 -0.13254553 1.02355726 -7.594299 58.645511
    Unten rechts KachelX + 1 62772 KachelY + 1 39030 -0.13249759 1.02355726 -7.591553 58.645511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02358220-1.02355726) × R
    2.49400000000843e-05 × 6371000     		dl = 158.892740000537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02358220-1.02355726) × R
    2.49400000000843e-05 × 6371000     		dr = 158.892740000537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13254553--0.13249759) × cos(1.02358220) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520310178470215 × 6371000     		do = 158.916121288785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13254553--0.13249759) × cos(1.02355726) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520331476503561 × 6371000     		du = 158.922626256381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02358220)-sin(1.02355726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520310178470215-0.520331476503561)×R²
    abs(-0.13249759--0.13254553)×2.129803334594e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.129803334594e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.129803334594e-05×40589641000000     		ar = 25251.1347391106m²