Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62771 / 38469
↖ ↑ ↗
← N 59.438093°
W  7.594299°		 ← 155.30 m → N 59.438093°
W  7.591553°		 →
↑
155.32 m
↓
↑
155.32 m
↓
N 59.436696°
W  7.594299°		 ← 155.31 m →
24 122 m²		 N 59.436696°
W  7.591553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478908538818359 y=0.293498992919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478908538818359 × 217)
    floor (0.478908538818359 × 131072)
    floor (62771.5)     		tx = 62771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293498992919922 × 217)
    floor (0.293498992919922 × 131072)
    floor (38469.5)     		ty = 38469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62771 / 38469 ti = "17/62771/38469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62771/38469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62771 ÷ 217
    62771 ÷ 131072     		x = 0.478904724121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38469 ÷ 217
    38469 ÷ 131072     		y = 0.293495178222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478904724121094 × 2 - 1) × π
    -0.0421905517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13254553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293495178222656 × 2 - 1) × π
    0.413009643554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.29750806201606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13254553} λ = -0.13254553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29750806201606))-π/2
    2×atan(3.66016439113795)-π/2
    2×1.30409337588952-π/2
    2.60818675177905-1.57079632675     		φ = 1.03739043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13254553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.594299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03739043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.438093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62771 KachelY 38469 -0.13254553 1.03739043 -7.594299 59.438093
    Oben rechts KachelX + 1 62772 KachelY 38469 -0.13249759 1.03739043 -7.591553 59.438093
    Unten links KachelX 62771 KachelY + 1 38470 -0.13254553 1.03736605 -7.594299 59.436696
    Unten rechts KachelX + 1 62772 KachelY + 1 38470 -0.13249759 1.03736605 -7.591553 59.436696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03739043-1.03736605) × R
    2.43800000001571e-05 × 6371000     		dl = 155.324980001001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03739043-1.03736605) × R
    2.43800000001571e-05 × 6371000     		dr = 155.324980001001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13254553--0.13249759) × cos(1.03739043) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.508469035235354 × 6371000     		do = 155.299531353832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13254553--0.13249759) × cos(1.03736605) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.508490028221346 × 6371000     		du = 155.305943152114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03739043)-sin(1.03736605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508469035235354-0.508490028221346)×R²
    abs(-0.13249759--0.13254553)×2.09929859925628e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.09929859925628e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.09929859925628e-05×40589641000000     		ar = 24122.3945592451m²