Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62770 / 76975
↖ ↑ ↗
← S 29.952555°
W  7.597046°		 ← 264.58 m → S 29.952555°
W  7.594299°		 →
↑
264.65 m
↓
↑
264.65 m
↓
S 29.954935°
W  7.597046°		 ← 264.57 m →
70 020 m²		 S 29.954935°
W  7.594299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478900909423828 y=0.587276458740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478900909423828 × 217)
    floor (0.478900909423828 × 131072)
    floor (62770.5)     		tx = 62770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587276458740234 × 217)
    floor (0.587276458740234 × 131072)
    floor (76975.5)     		ty = 76975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62770 / 76975 ti = "17/62770/76975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62770/76975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62770 ÷ 217
    62770 ÷ 131072     		x = 0.478897094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76975 ÷ 217
    76975 ÷ 131072     		y = 0.587272644042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478897094726562 × 2 - 1) × π
    -0.042205810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13259346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587272644042969 × 2 - 1) × π
    -0.174545288085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.548350194753822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13259346} λ = -0.13259346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.548350194753822))-π/2
    2×atan(0.577902450823955)-π/2
    2×0.524012812803398-π/2
    1.0480256256068-1.57079632675     		φ = -0.52277070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13259346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.597046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52277070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.952555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62770 KachelY 76975 -0.13259346 -0.52277070 -7.597046 -29.952555
    Oben rechts KachelX + 1 62771 KachelY 76975 -0.13254553 -0.52277070 -7.594299 -29.952555
    Unten links KachelX 62770 KachelY + 1 76976 -0.13259346 -0.52281224 -7.597046 -29.954935
    Unten rechts KachelX + 1 62771 KachelY + 1 76976 -0.13254553 -0.52281224 -7.594299 -29.954935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52277070--0.52281224) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dl = 264.651340000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52277070--0.52281224) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dr = 264.651340000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13259346--0.13254553) × cos(-0.52277070) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.866439144615495 × 6371000     		do = 264.57761607126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13259346--0.13254553) × cos(-0.52281224) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.866418403664834 × 6371000     		du = 264.571282572462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52277070)-sin(-0.52281224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866439144615495-0.866418403664834)×R²
    abs(-0.13254553--0.13259346)×2.07409506604028e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.07409506604028e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.07409506604028e-05×40589641000000     		ar = 70019.9825528817m²